Motocykl rozpędza się na prostym odcinku drogi. Jego prędkość $ \mathit{ \left(w \; \frac{m}{s}\right) }$ wyraża się wzorem $ \color{Cyan} V(t) = \frac{1}{4}t^2$ dla $ \color{Cyan} t\in \left[ 0,25 \right] $. Oblicz jaką drogę pokonał ten motocykl przez pierwsze 5 sekund.

Oto wykres przedstawiający zależność prędkości od czasu:

Być może wiesz, że jeśli obliczymy pochodną z funkcji $\displaystyle {\color{Cyan} S(t)} $(funkcja przebytej drogi w czasie), to otrzymamy funkcję $\displaystyle {\color{Cyan} V(t)} $(funkcję prędkości od czasu): \begin{gather*} \color{Emerald}{\scriptsize{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}}\\ \Large{\color{Cyan} \;\;S\small\left[ m \right] {\color{Emerald} \Large\longrightarrow }\Large V\small\left[ \frac{m}{s} \right]} \end{gather*} Wynika to wprost z definicji pochodnej: \begin{gather*} \small \textrm{różnica w metrach} \\ \color{Cyan} \qquad\qquad\quad \lim_{{h} \to {0}}\frac{\overbrace{S(t+h)-S(t)}}{\underbrace{\;\;\;\;h\;\;\;\;}}\color{Green} \huge\longmapsto {\color{Cyan} \large \left[ \frac{m}{s} \right]}\\ \small \textrm{różnica w sekundach} \end{gather*} Jeśli w układzie współrzędnych na osi poziomej mamy czas w sekundach, a na osi pionowej drogę w metrach, to pochodna funkcji z tego układu przyjmie jednostkę $ {\color{Cyan} \left[ \frac{m}{s} \right]} $. Można to rozumieć tak, że liczenie pochodnej to dzielenie osi pionowej przez oś poziomą. W rezultacie dostajemy zawsze funkcję opisującą szybkość zmian funkcji pierwotnej.
W naszym przypadku musimy przejść z funkcji opisującej prędkość do funkcji opisującej drogę. W takim wypadku należy użyć operacji odwrotnej do różniczkowania czyli całki. Skorzystamy od razu z całki oznaczonej w granicach, które nas interesują: \begin{gather*} \color{Cyan} \int_{0}^{5}\frac{1}{4}t^2dt = \left[ \frac{t^3}{12} \right]_0^5 = \frac{5^3}{12}-\frac{0^3}{12}=\frac{125}{12} \end{gather*} Wykonaliśmy właśnie operację odwrotną do różniczkowania, więc ostateczny wynik odnosi się do przebytej drogi. Granice całkowania są tutaj niczym innym jak różnicą pomiędzy wartościami funkcji pierwotnej ($ {\color{Cyan} S(t)}$) w $ \;{\color{Cyan} t=0}\; $ i $ \;{\color{Cyan} t=5} $.

Wynik można interpretować także jako pole powierzchni pod funkcją $ \color{Cyan} V(t) = \frac{1}{4}t^2$ w zakresie od $ \;{\color{Cyan} t=0}\; $ do $ \;{\color{Cyan} t=5} $: