Oblicz pole powierzchni pod parabolą $\displaystyle \;{\color{Cyan} y=\frac{1}{4}x^2-3x+10} \;$ w zakresie od $\color{Cyan} x=4 $ do $ \color{Cyan}x=8 $

Aby obliczyć pole pod funkcją niezbędne jest całkowanie. Obliczymy całkę w zakresie od $ \;{\color{Cyan}x=4}\; $ do $ \;{\color{Cyan}x=8}\; $. Otrzymamy wówczas pole powierzchni zaznaczone poniżej:

\begin{gather*} \color{Cyan} \int_{4}^{8} \left( \frac{1}{4}x^2-3x+10 \right)dx=\left[ \frac{1}{12}x^3-\frac{3}{2}x^2+10x \right]_4^8=\\ \color{Cyan} =\left( \frac{1}{12}\cdot 8^3-\frac{3}{2}\cdot 8^2+10\cdot 8 \right) - \left( \frac{1}{12}\cdot 4^3-\frac{3}{2}\cdot 4^2+10\cdot 4 \right) = \\ \color{Cyan} =\frac{128}{3}-96+80-\left( \frac{16}{3}-24+40 \right)=\frac{112}{3}-32=\\ \color{Green}= \frac{16}{3} \end{gather*}