Wykaż, że funkcja $\displaystyle \;\;{\color{Cyan} f(x)=\frac{1}{2}x^5+2x^2-2}\;\; $ posiada dokładnie jedno miejsce zerowe w przedziale $\displaystyle \color{Cyan}\left[ 0, 1 \right] $

W podanym równaniu funkcji występuje $ {\color{Cyan} x} $ w aż piątej potędze, dlatgo faktycznie obliczanie miejsc zerowych byłoby niemałym wyzwaniem. Zamiast tego spróbujmy zbadać przebieg tej funkcji, aby wywnioskować czy posiada ona miejsca zerowe w interesującym nas przedziale, a jeśli tak, to ile.

Zacznijmy od obliczenia wartości funkcji na dwóch krańcach tego przedziału: \begin{gather*} \color{Cyan} f(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2\cdot 0 - 2 = \color{Magenta} -2 \\ \color{Cyan} f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 + 2\cdot 1 - 2 = \color{Magenta} \frac{1}{2} \\ \end{gather*} Możemy teraz zaznaczyć te punkty w układzie współrzędnych:

Wiemy, że punkty $ {\color{Red} A} $ i $ {\color{Red} B} $ leżą na wykresie funkcji. Biorąc pod uwagę, że są one po dwóch różnych stronach osi $ OX $ (współrzędne y-owe mają przeciwne znaki), możemy wywnioskować, że funkcja w przedziale $\color{Cyan}\left[ 0, 1 \right] $ ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Nie da się bowiem połączyc punktów $ {\color{Red} A} $ i $ {\color{Red} B} $ w taki sposób, aby linia je łącząca nie przecinała osi $ OX $.

Uwaga: wniosek ten byłby błędny, gdyby funkcja $f(x)$ miała punkt nieciągłości w przedziale $\left[ 0, 1 \right] $. Mogłaby to być wówczas hiperbola, gdzie punkty $A$ i $B$ nie leżałyby na tym samym ramieniu. My jednak mamy do czynienia z wielomianem z dziedziną wyczerpującą cały zbiór liczb rzeczywistych.


Niestety jeszcze nie mamy pewności co do tego, że w tym przedziale jest dokładnie jedno miejsce zerowe. Zauważmy, że wystarczy teraz jedynie udowodnić, że funkcja jest w tym przedziale monotoniczna, czyli na całym przedziale tylko rośnie lub tylko maleje (chociaż to drugie jest w naszym przypadku niemożliwe). Innymi słowy musimy udowodnić, że nie występuje taka sytuacja:

Aby zbadać monotoniczność obliczamy pochodną: \begin{gather*} \color{Cyan} f'(x)=\frac{5}{2}x^4+4x \\ \textrm{zauważamy, że:} \\ \color{Cyan} \frac{5}{2}x^4+4x \gt 0 \;\;\; dla \; x \gt 0 \end{gather*} Więc w przedziale, który nas interesuje pochodna jest zawsze większa bądź równa 0. Jest równa 0 dla $ {\color{Cyan} x=0} $, ale w całym przedziale $\displaystyle \color{Cyan}\left( 0, 1 \right] $ przyjmuje wartości dodatnie. Oznacza to, że funkcja pierwotna jest w tym przedziale monotoniczna (konkretniej mówiąc rosnąca):

$$ \blacksquare $$