Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-07-17 20:56:00
Do zbiornika wpływa woda z szybkością zmienną w czasie. Wydajność dopływu (ilość wody w litrach na sekundę) opisana jest funkcją: \begin{align*} {\color{Cyan} f\left(t\right)=\frac{4}{t+2}} \end{align*} Oblicz ile wody wpłynęło w zakresie czasowym od $ \color{Cyan}t=2 $ do $\color{Cyan} t=5 $
Aby rozwiązać to zadanie obliczymy całkę oznaczoną. Dlaczego całkę? Oto krótkie wyjaśnienie:
Załóżmy, że mamy podaną funkcję $ {\color{Cyan} V(t)} $, która opisuje ilość wody w zbiorniku w danym momencie czasu. Uzgodnijmy, że ilość wody jest mierzona w litrach a czas w sekundach. Na osi poziomej mamy więc czas w sekundach a na pionowej ilość wody w litrach.
Licząc pochodną z tej funkcji otrzymamy nową funkcję $ {\color{Blue} V'(t)} $, która opisuje szybkość zmian funkcji $ {\color{Cyan} V(t)} $. Funkcja $ {\color{Blue} V'(t)} $ przyjmie wówczas jednostkę $ {\color{Blue} \left[ \frac{litr}{sekunda} \right]} $. Możemy to rozumieć trochę tak, że liczenie pochodnej to jest dzielenie jednostki na osi pionowej przez jednostkę na osi poziomej.
Nasze zadanie dotyczy jednak operacji dokładnie odwrotnej. Mamy podaną funkcję opisującą szybkość wpływania wody w $ {\color{Blue} \left[ \frac{l}{s} \right]} $, a naszym zadaniem jest policzyć samą ilość wody w pewnym zakresie czasowym. Operacją odwrotną do różniczkowania jest całkowanie.
\begin{gather*} \color{Blue} \int_{2}^{5}\frac{4}{t+2}dt = 4\int_{2}^{5}\frac{dt}{t+2}=4\left[ \ln{\left( t+2 \right)} \right]_2^5=\\ \color{Blue} =4\left( \ln{\left(7\right) - \ln{\left(4\right)} } \right) = \color{Cyan} 4\ln{\left(\frac{7}{4}\right)} \end{gather*} Wynik można interpretować także jako pole powierzchni pod funkcją $ \displaystyle {\color{Cyan} f\left(t\right)=\frac{4}{t+2}}$ w zakresie od $ \;{\color{Cyan} t=2}\; $ do $ \;{\color{Cyan} t=5} $:
Załóżmy, że mamy podaną funkcję $ {\color{Cyan} V(t)} $, która opisuje ilość wody w zbiorniku w danym momencie czasu. Uzgodnijmy, że ilość wody jest mierzona w litrach a czas w sekundach. Na osi poziomej mamy więc czas w sekundach a na pionowej ilość wody w litrach.
Licząc pochodną z tej funkcji otrzymamy nową funkcję $ {\color{Blue} V'(t)} $, która opisuje szybkość zmian funkcji $ {\color{Cyan} V(t)} $. Funkcja $ {\color{Blue} V'(t)} $ przyjmie wówczas jednostkę $ {\color{Blue} \left[ \frac{litr}{sekunda} \right]} $. Możemy to rozumieć trochę tak, że liczenie pochodnej to jest dzielenie jednostki na osi pionowej przez jednostkę na osi poziomej.
Nasze zadanie dotyczy jednak operacji dokładnie odwrotnej. Mamy podaną funkcję opisującą szybkość wpływania wody w $ {\color{Blue} \left[ \frac{l}{s} \right]} $, a naszym zadaniem jest policzyć samą ilość wody w pewnym zakresie czasowym. Operacją odwrotną do różniczkowania jest całkowanie.
\begin{gather*} \color{Blue} \int_{2}^{5}\frac{4}{t+2}dt = 4\int_{2}^{5}\frac{dt}{t+2}=4\left[ \ln{\left( t+2 \right)} \right]_2^5=\\ \color{Blue} =4\left( \ln{\left(7\right) - \ln{\left(4\right)} } \right) = \color{Cyan} 4\ln{\left(\frac{7}{4}\right)} \end{gather*} Wynik można interpretować także jako pole powierzchni pod funkcją $ \displaystyle {\color{Cyan} f\left(t\right)=\frac{4}{t+2}}$ w zakresie od $ \;{\color{Cyan} t=2}\; $ do $ \;{\color{Cyan} t=5} $:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Wpłynęło $ \color{Cyan} 4\ln{\left(\frac{7}{4}\right)} $ litrów wody.