Pewien obiekt został upuszczony z pewnej wysokości. Funkcja opisująca zależność przebytej przez ten obiekt drogi (w metrach) w zależności od czasu (w sekundach) wyraża się wzorem (zaniedbując potencjalny opór atmosfery): \begin{align*} {\color{Cyan} S(t)=\begin{cases} {4,45t^2} & \text{dla} & {t\le 2} \\ {17,8} & \text{dla} & {t>2} \end{cases}} \end{align*} Na której planecie układu słonecznego został upuszczony ten obiekt?

Do rozwiązania tego zadania wystarczy znajomość rachunku różniczkowego oraz podstawowych praw fizyki. Spróbujmy najpierw zinterpretować podaną funkcję.

Widzimy, że w zakresie $ \color{Cyan} 0 \lt t \le 2 $ obiekt się porusza. Świadczy o tym zmienna $ \color{Cyan} t^2 $ - wartości funkcji zmieniają się w zależności od $ \color{Cyan} t $. Po upływie dwóch sekund obiekt przestaje się poruszać - wartość funkcji jest stała i równa $ \color{Cyan} 17,8 $. Najprawdopodobniej obiekt po dwóch sekundach upadł na jakąś powierzchnię.
Interesuje nas zatem sam wzór: $ \color{Cyan} 4,45t^2 $, bo zawiera on informacje o tym, jak szybko obiekt zmieniał swoją pozycję podczas swobodnego spadku.

Jak wiesz, szybkość opadania obiektów jest zależna od przyspieszenia grawitacyjnego. Jest ono podawane w jednostce $ \color{Cyan} \left[ \frac{m}{s^2} \right] $ i mówi jak szybko przyspiesza opadający obiekt. Przyspieszenie na Ziemii wynosi około $ \color{Cyan} 9,81\frac{m}{s^2} $, ale na innych planetach może się różnić.
Zobacz tabelkę na Wikipedii.

Naszym zadaniem będzie obliczenie przyspieszenia grawitacyjnego bazując na podanej funkcji oraz dopasowanie wyniku do odpowiedniej planety. Zrobimy to licząc podwójną pochodną funkcji. Dlaczego? Oto krótkie wyjaśnienie:

Jeśli obliczymy pochodną z funkcji $\displaystyle {\color{Cyan} S(t)} $(funkcja przebytej drogi w czasie), to otrzymamy funkcję $\displaystyle {\color{Cyan} V(t)} $(funkcję prędkości od czasu): \begin{gather*} \color{Emerald}{\scriptsize{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}}\\ \Large{\color{Cyan} \;\;S\small\left[ m \right] {\color{Emerald} \Large\longrightarrow }\Large V\small\left[ \frac{m}{s} \right]} \end{gather*} Gdzie $\color{Emerald}{\scriptsize{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}}$ to oznaczenie na pochodną.
Wynika to wprost z definicji pochodnej: \begin{gather*} \small \textrm{różnica w metrach} \\ \color{Cyan} \qquad\qquad\quad \lim_{{h} \to {0}}\frac{\overbrace{S(t+h)-S(t)}}{\underbrace{\;\;\;\;h\;\;\;\;}}\color{Green} \huge\longmapsto {\color{Cyan} \large \left[ \frac{m}{s} \right]}\\ \small \textrm{różnica w sekundach} \end{gather*} Jeśli w układzie współrzędnych na osi poziomej mamy czas w sekundach, a na osi pionowej drogę w metrach, to pochodna funkcji z tego układu przyjmie jednostkę $ {\color{Cyan} \left[ \frac{m}{s} \right]} $. Można to rozumieć tak, że liczenie pochodnej to dzielenie osi pionowej przez oś poziomą. W rezultacie dostajemy zawsze funkcję opisującą szybkość zmian funkcji pierwotnej.
Oto, co się wydarzy jeśli policzymy podwójną pochodną: \begin{gather*} \color{Emerald}{\scriptsize{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}} \qquad \qquad \qquad \; \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}} \\ \Large{\color{Cyan} \;\;S\small\left[ m \right] {\color{Emerald} \Large\longrightarrow }\Large V\small\left[ \frac{m}{s} \right]}{\color{Emerald} \Large\longrightarrow }\Large \color{Cyan} a\small\left[ \frac{m}{s^2} \right] \end{gather*} Przy pierwszej pochodnej otrzymujemy funkcję $ {\color{Cyan} V(t)} $, która opisuje prędkość zmian funkcji $ {\color{Cyan} S(t)} $. Przy drugiej zaś otrzymujemy funkcję $ {\color{Cyan} a(t)} $, która opisuje prędkość zmian funkcji $ {\color{Cyan} V(t)} $, czyli "prędkość prędkości zmian" funkcji $ {\color{Cyan} S(t)} $ - tym właśnie jest przyspieszenie.

Teraz możemy przystąpić do liczenia podwójnej pochodnej: \begin{gather*} \color{Cyan} S(t) = 4,45t^2 \\ \color{Cyan} S'(t) = 8,9t = V(t) \\ \color{Cyan} S''(t) = 8,9 = V'(t) = a(t) \\ \end{gather*} Otrzymaliśmy przyspieszenie obiektu równe $ {\color{Cyan} 8,9\left[ \frac{m}{s^2} \right]} $. Takie przyspieszenie grawitacyjne układzie słonecznym ma Wenus.