Oblicz całkę podwójną:

\begin{align*} \int_{0}^{1}\int_{2}^{3}xy^2dx\;dy = \int_{0}^{1}\underset{\textbf{Możemy dopisać nawias}}{\left( {\color{Cyan} \int_{2}^{3}xy^2\;dx} \right)}dy \;\;\;\;\;\; \end{align*} Niebiska całka całkuje tylko zmienną $\color{DarkBlue} x$ (gdyż jest z różniczką $\color{DarkBlue} dx$). Dlatego zmienna $\color{DarkBlue}y$ dla tej całki jest jedynie stałą. A skoro tak, to możemy stałą wyciągnąć przed całkę: $$ \int_{0}^{1}\left( y^2\cdot {\color{Cyan} \int_{2}^{3}x\;dx} \right)dy $$ Najpierw liczymy niebieską całkę po to, abyśmy mogli pomnożyć to, co wyjdzie przez $\displaystyle \color{DarkBlue} y^2 $, a następnie scałkować - tym razem względem zmiennej $\color{DarkBlue}y$. $\color{DarkBlue} \int{xdx} = \frac{1}{2}x^2 $ więc: $$ {\color{Cyan} \int_{2}^{3}xdx=\left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_2^3 = \frac{1}{2}3^2-\frac{1}{2}2^2=\frac{5}{2}} $$ zatem: $$ \int_{0}^{1}\left({\color{Cyan} \frac{5}{2}} y^2 \right)dy=\int_{0}^{1}{\color{Cyan} \frac{5}{2}} y^2\;dy \;\; \textrm{ - nie potrzebowaliśmy już tego nawiasu} $$ Znowu mamy stałą w całce. Co więc robimy? $$ {\color{Cyan} \frac{5}{2}}\int_{0}^{1}y^2\;dy $$ Teraz całkujemy względem $\color{DarkBlue}y$ (bo nasza różniczka to $\color{DarkBlue} dy$). $ \color{DarkBlue} \int{y^2\;dy}=\frac{1}{3} y^3 $ więc: $$ {\color{Cyan} \frac{5}{2}}\int_{0}^{1}{y^2\;dy}={\color{Cyan} \frac{5}{2}}\left[ \frac{1}{3} y^3 \right]_0^1 = {\color{Cyan} \frac{5}{2}}\left( \frac{1}{3}\cdot 1^3 - \frac{1}{3}\cdot 0^3 \right) = {\color{Cyan} \frac{5}{2}}\cdot \frac{1}{3} = {\color{Green} \frac{5}{6}} $$