Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-07-17 20:48:00
Wyznacz wszystkie wartości parametru $ {\color{Cyan} t} $, dla których wektory $ \; {\color{Cyan} \overrightarrow{v}} \; $ i $ \; {\color{Cyan} \overrightarrow{w}} \; $ są prostopadłe:
$$
\color{Cyan}
\mathbf{ \overrightarrow{v} } =
\begin{bmatrix}
{2} \\
{3}
\end{bmatrix}, \;\;
\mathbf{ \overrightarrow{w} } =
\begin{bmatrix}
{\frac{1}{2}t} \\
{t^2}
\end{bmatrix}
$$
Zanim przejdziemy do obliczeń, spróbuj oszacować wartość parametru za pomocą suwaka poniżej:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Aby rozwiązać to zadanie, skorzystamy z podstawowej własności iloczynu skalarnego: jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy zero, to znaczy, że te wektory są prostopadłe bądź co najmniej jeden z nich jest wektorem zerowym.
Jeśli nie wiesz bądź nie pamiętasz czym jest iloczyn skalarny zajrzyj naWikipedię
lub
Matemaks.pl
\begin{gather*} \textrm{Zacznijmy od policzenia iloczynu skalarnego:} \\ \\ \begin{bmatrix} {2} \\ {3} \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} {\frac{1}{2}t} \\ {t^2} \end{bmatrix} = \left( 2 \cdot \frac{1}{2}t \right) + \left( 3 \cdot t^2 \right) = {\color{Magenta} 3t^2 + t } \\ \\ % wyrażenie z nawiasami \textrm{Wiemy, że iloczyn skalarny} \textbf{ musi} \textrm{ być równy zero, aby wektory były prostopadłe.} \\ \textrm{Układamy zatem równanie:} \\ \\ {\color{Magenta} 3t^2 + t = 0 } \\ {\color{Magenta} t\left( 3t + 1 \right) = 0} \\ \\ \textrm{więc:} \end{gather*} \begin{align*} {\color{Emerald} t=0 } \qquad \lor {\color{Magenta} \qquad 3t + 1 = 0} & \\ % na końcu jest znak „&” {\color{Magenta} 3t = -1} \\ {\color{Emerald} t = -\frac{1}{3}} \\ \end{align*} Odrzucamy wynik $\;{\color{Emerald} t = 0}$, gdyż zależało nam na znalezieniu wektora prostopadłego - nie zerowego.
Jeśli nie wiesz bądź nie pamiętasz czym jest iloczyn skalarny zajrzyj na
\begin{gather*} \textrm{Zacznijmy od policzenia iloczynu skalarnego:} \\ \\ \begin{bmatrix} {2} \\ {3} \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} {\frac{1}{2}t} \\ {t^2} \end{bmatrix} = \left( 2 \cdot \frac{1}{2}t \right) + \left( 3 \cdot t^2 \right) = {\color{Magenta} 3t^2 + t } \\ \\ % wyrażenie z nawiasami \textrm{Wiemy, że iloczyn skalarny} \textbf{ musi} \textrm{ być równy zero, aby wektory były prostopadłe.} \\ \textrm{Układamy zatem równanie:} \\ \\ {\color{Magenta} 3t^2 + t = 0 } \\ {\color{Magenta} t\left( 3t + 1 \right) = 0} \\ \\ \textrm{więc:} \end{gather*} \begin{align*} {\color{Emerald} t=0 } \qquad \lor {\color{Magenta} \qquad 3t + 1 = 0} & \\ % na końcu jest znak „&” {\color{Magenta} 3t = -1} \\ {\color{Emerald} t = -\frac{1}{3}} \\ \end{align*} Odrzucamy wynik $\;{\color{Emerald} t = 0}$, gdyż zależało nam na znalezieniu wektora prostopadłego - nie zerowego.
$\displaystyle {\color{Emerald}t=-\frac{1}{3}} $