Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-07-17 20:42:00
Zbadaj zbieżność szeregu
$$
\color{Cyan} \sum_{n=1}^{\infty}\left( -1 \right)^n \frac{3^{n+1}}{n^3}
$$
Aby rozwiązać to zadanie skorzystamy z kryterium Leibniza. Jeśli nie wiesz czym jest kryterium Leibniza, zobacz
film na Khan Academy .
Mówi ono, że szereg $\;\;\displaystyle \color{Cyan} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot a_n \;$ jest zbieżny jeśli:
1. $\displaystyle \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}a_n = 0$
2. Ciąg $\displaystyle \color{Cyan}a_n$ jest nierosnący
\begin{gather*} \textrm{Liczymy granicę ciągu:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{3^{n+1}}{n^3} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \\\\ \textrm{Otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, więc korzystamy z reguły de l’Hospitala:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x}\to{\infty}}\frac{3^{n+1}}{n^3} \overset{H}{=} \lim_{{x}\to{\infty}}\frac{\ln{(3)}\cdot 3^{n+1}}{3n^2}\\\\ \textrm{W tym przypadku musimy skorzystać z reguły de l’Hospitala więcej razy:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x}\to{\infty}}\frac{\ln{(3)}\cdot 3^{n+1}}{3n^2} \overset{H}{=} \lim_{{x}\to{\infty}}\frac{\ln{(3)^2}\cdot 3^{n+1}}{6n} \overset{H}{=}\lim_{{x}\to{\infty}}\frac{\ln{(3)^3}\cdot 3^{n+1}}{6} = {\color{Green} \infty} \end{gather*}
Kryterium Leibniza nie jest spełnione, więc szereg jest rozbieżny.
Jeśli nie wiesz czym jest reguła de l’Hospitala, zajrzyj na stronęMatemaks
Mówi ono, że szereg $\;\;\displaystyle \color{Cyan} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot a_n \;$ jest zbieżny jeśli:
1. $\displaystyle \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}a_n = 0$
2. Ciąg $\displaystyle \color{Cyan}a_n$ jest nierosnący
\begin{gather*} \textrm{Liczymy granicę ciągu:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{3^{n+1}}{n^3} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \\\\ \textrm{Otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, więc korzystamy z reguły de l’Hospitala:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x}\to{\infty}}\frac{3^{n+1}}{n^3} \overset{H}{=} \lim_{{x}\to{\infty}}\frac{\ln{(3)}\cdot 3^{n+1}}{3n^2}\\\\ \textrm{W tym przypadku musimy skorzystać z reguły de l’Hospitala więcej razy:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x}\to{\infty}}\frac{\ln{(3)}\cdot 3^{n+1}}{3n^2} \overset{H}{=} \lim_{{x}\to{\infty}}\frac{\ln{(3)^2}\cdot 3^{n+1}}{6n} \overset{H}{=}\lim_{{x}\to{\infty}}\frac{\ln{(3)^3}\cdot 3^{n+1}}{6} = {\color{Green} \infty} \end{gather*}
Kryterium Leibniza nie jest spełnione, więc szereg jest rozbieżny.
Jeśli nie wiesz czym jest reguła de l’Hospitala, zajrzyj na stronę
Szereg jest rozbieżny.