Dla jakiej wartości parametru $ {\color{Cyan} m} $ funkcja $ {\color{Cyan} f(x)} $ posiada dokładnie jedno miejsce zerowe $ \color{Cyan} \gt 0 $

Zanim przejdziemy do rozwiązywania, pobaw się poniższą wizualizacją, poruszając suwakiem:

Być może dzięki powyższemu wykresowi jesteś w stanie już oszacować wartości parametru $ {\color{Cyan} m} $, dla którego funkcja ma jeden, dodatni pierwiastek. Niemniej, spróbujmy znaleźć rozwiązanie sposobem algebraicznym. \begin{gather*} \textrm{Zacznijmy od obliczenia delty. Wzór wygląda następująco:}\\\\ \color{Cyan} \Delta = b^2-4ac\\\\ \textrm{Potrzebujemy współczynników }{\color{#0066ff}a}, {\color{Magenta}b} \; \textrm{i} \;{\color{Green}c}.\\ \textrm{Odczytujemy je ze wzoru funkcji:}\\\\ \color{Cyan} f(x) = {\color{#0066ff}\frac{m}{2}}x^2 + {\color{Magenta}2}x {\color{Green}- 3 + 2m}\\ \color{#0066ff} a = \frac{m}{2}\\ \color{Magenta} b = 2\\ \color{Green} c = -3+2m\\\\ \textrm{Liczymy deltę:}\\\\ \color{Cyan} \Delta = {\color{Magenta}2^2} - 4 \cdot {\color{#0066ff}\frac{m}{2}} \cdot {\color{Green}\left(- 3 + 2m\right)} = -4m^2+6m+4\\\\ \textrm{Aby funkcja }{\color{Cyan}f(x)}\textrm{ miała jeden pierwiastek,}\\ \textrm{to ta delta musi być równa zero. Układamy więc równanie:}\\\\ \color{#ff6600} -4m^2+6m+4 = 0 \end{gather*}
Tak więc nasze zadanie sprowadza się już tylko do rozwiązania tego równania. Wiemy bowiem, że funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe jeśli $ \color{Cyan} \Delta = 0 $
\begin{gather*} \textrm{Możemy nazwać sobie tę funkcję:}\\\\ \color{#ff6600} g(m) = -4m^2+6m+4 \\\\ \textrm{Liczymy drugą deltę, aby rozwiązać równanie:}\\\\ \color{#ff6600} \Delta_m = 36 + 64 = 100\\\\ \textrm{Liczymy pierwiastek z tej delty a następnie wyznaczamy miejsca zerowe:}\\\\ \color{#ff6600} \sqrt{\Delta_m} = \sqrt{100} = 10\\ \color{#ff6600} m_1 = \frac{-6-10}{-8}=2\\ \color{#ff6600} m_2 = \frac{-6+10}{-8}=-\frac{1}{2} \end{gather*} Możemy narysować sobie wykres funkcji $\;\color{#ff6600} g(m)$:

Pozostaje nam jeszcze się dowiedzieć kiedy miejsce zerowe funkcji $\;\color{Cyan} f(x)\;$ jest po stronie dodatnej, a kiedy po stronie ujemnej. W tym celu podstawmy pod wzór tej funkcji dwie wartości parametru, dla którego ma ona jedno miejsce zerowe: \begin{gather*} \color{Cyan} {\color{#ff6600}m=-\frac{1}{2}:} \quad f(x) = -\frac{1}{4}x^2+2x-2\\ \color{Cyan} {\color{#ff6600}m=2:} \quad f(x) = x^2+2x+1 \end{gather*} Możemy teraz obliczyć współrzędne $x$-owe wierzchołków tej funkcji, korzystając ze wzoru: \begin{gather*} \color{Cyan} p=\frac{-b}{2a} \end{gather*} \begin{align*} {\color{#ff6600}m=-\frac{1}{2}:}&\qquad \color{Cyan} p=\frac{-2}{-\frac{1}{2}}=4 \\\\ {\color{#ff6600}m=2:}&\qquad \color{Cyan} p=\frac{-2}{2}=-1 \end{align*} Dodatnie miejsce zerowe otrzymujemy przy parametrze $\;\displaystyle \color{#ff6600} m = -\frac{1}{2}$.


Uwaga do zadania: Każda funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe. Często są to dwie różne liczby rzeczywiste ($\Delta \gt 0$), czasem są sobie równe ($\Delta = 0$), a czasem oba miejsca zerowe nie należą do zbioru liczb rzeczywistych ($\Delta \lt 0$). Mówi się wówczas, że należą do zbioru liczb zespolonych (ale to poziom studiów - tam liczy się pierwiastki z liczb ujemnych).