Znajdź wartości parametru ${\color{Cyan} m}$, dla którego funkcja ${\color{Cyan}\; f(x) = x^{2}+\left(2-m\right)x+1+m}\;$ posiada dwa dodatnie miejsca zerowe.

Zanim przejdziemy do rozwiązywania, pobaw się poniższą wizualizacją, poruszając suwakiem:

Być może dzięki powyższemu wykresowi jesteś w stanie już oszacować wartości parametru $ {\color{Cyan} m} $, dla którego funkcja ma dwa dodatnie pierwiastki. Niemniej, spróbujmy znaleźć rozwiązanie sposobem algebraicznym.

Skorzystamy ze wzorów Viete'a: \begin{gather*} \color{Cyan} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\\\ \color{Cyan} x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \\ \end{gather*} Jeśli jeszcze o nich nie słyszałeś, to zajrzyj na stronę matmana6.pl lub matemaks.pl.
Aby te wzory w ogóle miały sens, muszą istnieć miejsca zerowe $\color{Cyan} x_1$ oraz $\color{Cyan} x_2$. Dlatego naszym pierwszym krokiem będzie ustalenie warunku, dla którego tak właśnie jest.
\begin{gather*} \textrm{Zacznijmy od obliczenia delty. Wzór wygląda następująco:}\\\\ \color{Cyan} \Delta = b^2-4ac\\\\ \textrm{Potrzebujemy współczynników }{\color{#0066ff}a}, {\color{Magenta}b} \; \textrm{i} \;{\color{Green}c}.\\ \textrm{Odczytujemy je ze wzoru funkcji:}\\\\ \color{Cyan} f(x) = {\color{#0066ff}1}x^2 + {\color{Magenta}(2-m)}x +{\color{Green}1+m}\\ \color{#0066ff} a = 1\\ \color{Magenta} b = 2-m\\ \color{Green} c = 1+m\\\\ \textrm{Liczymy deltę:}\\\\ \color{Cyan} \Delta = {\color{Magenta}(2-m)^2} - 4 \cdot {\color{#0066ff}1} \cdot {\color{Green}\left(1+m\right)} = 4-4m+m^2-4-4m = \color{#ff6600} m^2-8m\\\\ \textrm{Aby funkcja }{\color{Cyan}f(x)}\textrm{ miała 2 pierwiastki w zbiorze liczb rzeczywistych,}\\ \textrm{to ta delta musi być większa od zera. Układamy więc nierówność:}\\\\ \color{#ff6600} m^2-8m > 0 \\ \color{#ff6600} m(m-8) > 0 \\\\ \textrm{Aby rozwiązać tę nierówność narysujmy tę funkcję.} \\ \textrm{W tym celu obliczmy jej miejsca zerowe:} \\\\ \color{#ff6600} m(m-8) = 0 \\ \color{#ff6600} m = 0 \quad \lor \quad m = 8 \end{gather*} Teraz rysujemy parabolę oraz zaznaczamy przedział, w którym przyjmuje ona wartości dodatnie (ponieważ mamy $\color{#ff6600} m(m-8) > 0$)

Tak więc wiemy już, że funkcja $\;\color{Cyan} f(x)\;$ posiada dwa miejsca zerowe (w zbiorze liczb rzeczywistych) gdy $\color{#ff6600} m \in (-\infty; \;0)\cup (8;\;\infty)$. Tylko wtedy bowiem $\color{Cyan}\Delta$ jest dodatnia.
Pozostaje skorzystać ze wzorów Viete'a. Chcemy, aby miejsca zerowe funkcji $\;\color{Cyan} f(x)\;$ były dodatnie. Wobec tego ich iloczyn także powinien być dodatni. Co więcej, sprawa ma się podobnie z sumą tych pierwiastków - musi być dodatnia. A więc: \begin{gather*} \color{#ff6600} x_1 \cdot x_2 > 0 \\\\ \color{#ff6600} \frac{1+m}{1} > 0 \\\\ \color{#ff6600} 1+m > 0 \\\\ \color{#ff6600} m > -1 \\\\ \textrm{Oraz:} \\\\ \color{#ff6600} x_1 + x_2 > 0 \\\\ \color{#ff6600} -\frac{2-m}{1} > 0 \\\\ \color{#ff6600} -2+m > 0 \\\\ \color{#ff6600} m > 2 \\ \end{gather*} Pozostała już formalność. Wiemy, że te wszystkie trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie: \begin{gather*} \color{#ff6600} m > -1 \\ \color{#ff6600} m > 2 \\ \color{#ff6600} m \in (-\infty; \;0)\cup (8;\;\infty) \end{gather*} Bierzemy zatem ich część wspólną: \begin{gather*} \color{#00dd66} m \in (8;\;\infty) \end{gather*}