Znajdź wartości parametru ${\color{Cyan} m}$, dla którego funkcja $\displaystyle \color{Cyan}\; f(x) = \frac{1}{5}x^2+\left( \frac{1}{4}m + 1 \right)x + 3 + \frac{1}{2}m \;$ posiada dwa miejsca zerowe o przeciwnych znakach.

Zanim przejdziemy do rozwiązywania, pobaw się poniższą wizualizacją, poruszając suwakiem:

Być może dzięki powyższemu wykresowi jesteś w stanie już oszacować wartości parametru $ {\color{Cyan} m} $, dla którego funkcja ma dwa ujemne pierwiastki. Niemniej, spróbujmy znaleźć rozwiązanie sposobem algebraicznym.

Skorzystamy ze wzorów Viete'a: \begin{gather*} \color{Cyan} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\\\ \color{Cyan} x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \\ \end{gather*} Jeśli jeszcze o nich nie słyszałeś, to zajrzyj na stronę matmana6.pl lub matemaks.pl.
Aby te wzory w ogóle miały sens, muszą istnieć miejsca zerowe $\color{Cyan} x_1$ oraz $\color{Cyan} x_2$. Dlatego naszym pierwszym krokiem będzie ustalenie warunku, dla którego tak właśnie jest.
\begin{gather*} \textrm{Zacznijmy od obliczenia delty. Wzór wygląda następująco:}\\\\ \color{Cyan} \Delta = b^2-4ac\\\\ \textrm{Potrzebujemy współczynników }{\color{#0066ff}a}, {\color{Magenta}b} \; \textrm{i} \;{\color{Green}c}.\\ \textrm{Odczytujemy je ze wzoru funkcji:}\\\\ \color{Cyan} f(x) = {\color{#0066ff}\frac{1}{5}}x^2 + {\color{Magenta}\left( \frac{1}{4}m+1 \right)}x +{\color{Green}3+\frac{1}{2}m}\\ \color{#0066ff} a = \frac{1}{5}\\ \color{Magenta} b = \frac{1}{4}m+1\\ \color{Green} c = 3 + \frac{1}{2}m\\\\ \textrm{Liczymy deltę:}\\\\ \color{Cyan} \Delta = {\color{Magenta}\left( \frac{1}{4}m+1 \right)^2} - 4 \cdot {\color{#0066ff}\frac{1}{5}} \cdot {\color{Green}\left(3 + \frac{1}{2}m\right)} = \color{#ff6600} \frac{1}{16}m^2+\frac{1}{10}m-\frac{7}{5}\\\\ \textrm{Aby funkcja }{\color{Cyan}f(x)}\textrm{ miała 2 pierwiastki w zbiorze liczb rzeczywistych,}\\ \textrm{to ta delta musi być większa od zera. Układamy więc nierówność:}\\\\ \color{#ff6600} \frac{1}{16}m^2+\frac{1}{10}m-\frac{7}{5} > 0 \\\\ \textrm{Aby rozwiązać tę nierówność narysujmy tę funkcję.} \\ \textrm{W tym celu obliczmy jej miejsca zerowe:} \\\\ \color{#ff6600} \frac{1}{16}m^2+\frac{1}{10}m-\frac{7}{5} = 0 \\\\ \textrm{Tutaj niestety znowu musimy obliczyć deltę, ale już pewnie wiesz jak to zrobić:}\\\\ \color{#ff6600} \Delta_m = \left(\frac{1}{10}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{16} \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) = \frac{9}{25}\\\\ \textrm{Policzmy pierwiastek z tej delty a następnie wyznaczmy miejsca zerowe:}\\\\ \color{#ff6600} \sqrt{\Delta_m} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\\\\ \color{#ff6600} m_1 = \frac{-\frac{1}{10} - \frac{3}{5}}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{-\frac{7}{10}}{\frac{1}{8}} = -\frac{28}{5}\\\\ \color{#ff6600} m_2 = \frac{-\frac{1}{10} + \frac{3}{5}}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{\frac{5}{10}}{\frac{1}{8}} = 4\\ \end{gather*} Teraz rysujemy parabolę oraz zaznaczamy przedział, w którym przyjmuje ona wartości dodatnie (ponieważ mamy $\color{#ff6600} \frac{1}{16}m^2+\frac{1}{10}m-\frac{7}{5} > 0$)

Tak więc wiemy już, że funkcja $\;\color{Cyan} f(x)\;$ posiada dwa miejsca zerowe (w zbiorze liczb rzeczywistych) gdy $\color{#ff6600} m \in (-\infty; \;-\frac{28}{5})\cup (4;\;\infty)$. Tylko wtedy bowiem $\color{Cyan}\Delta$ jest dodatnia.
Pozostaje skorzystać ze wzorów Viete'a. Chcemy, aby miejsca zerowe funkcji $\;\color{Cyan} f(x)\;$ miały przeciwne znaki. Wobec tego ich iloczyn powinien być ujemny. A więc: \begin{gather*} \color{Cyan} x_1 \cdot x_2 < 0 \\\\ \color{Cyan} \frac{3+\frac{1}{2}m}{\frac{1}{5}} < 0 \\\\ \color{Cyan} 3+\frac{1}{2}m < 0 \\\\ \color{Cyan} m < -6 \end{gather*} Pozostała już formalność. Wiemy, że te dwa warunki muszą być spełnione jednocześnie: \begin{gather*} \color{#ff6600} m \in \left(-\infty; \;-\frac{28}{5}\right)\cup \left(-4;\;\infty\right) \color{#888888} \;\textrm{ - aby były dwa miejsca zerowe}\\ \color{Cyan} m < -6 \color{#888888} \;\textrm{ - aby iloczyn pierwiastków był ujemny}\\ \end{gather*} Bierzemy zatem ich część wspólną: \begin{gather*} \color{#00dd66} m \in (-\infty; \; -6) \end{gather*}