Oblicz granicę funkcji:

Zanim przejdziemy do rozwiązywania, przypatrz się wykresowi funkcji i zastanów się, czy jej wartości dążą do jakiejś liczby wraz ze zwiększającymi się argumentami (czyli kiedy idziemy w prawo na osi X):

Przejdźmy do obliczeń: \begin{gather*} \textrm{Podstawiamy pod zmienną }{\color{Cyan} x} \textrm{ nieskończoność:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{2x^2+x-1}{3x^2+2} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]\\\\ \textrm{Otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, więc musimy dokonać przekształcenia.}\\ \textrm{Wyciągnijmy }{\color{Cyan} x^2}\textrm{ przed nawias w liczniku i mianowniku:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{2x^2+x-1}{3x^2+2} = \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{x^2\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(3+\frac{2}{x^2}\right)} = \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{3+\frac{2}{x^2}}\\\\ \textrm{Teraz możemy bezpośrednio policzyć granicę.}\\ \textrm{Po podstawieniu nieskończoności wszystkie elementy zaznaczone na czerwono dążą do zera:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{2+{\color{Red}\frac{1}{x}}+{\color{Red}\frac{1}{x^2}}}{3+{\color{Red}\frac{2}{x^2}}} = \color{#00dd66}\frac{2}{3}\\\\ \end{gather*} Jeśli nie wiesz dlaczego te ułamki dążą do zera, oto krótkie wyjaśnienie:
Wyobraż sobie, że mamy ułamek $\;\displaystyle{\color{Magenta} \frac{1}{x}}\;$ i podstawiamy pod niego coraz większe wartości $\color{Magenta} x$. Zacznijmy od $\color{Magenta} x=1$ i stopniowo zwiększajmy wartość zmiennej: \begin{align*} \color{Magenta} x=1:& \qquad \frac{1}{1} = 1 \\ \color{Magenta} x=4:& \qquad \frac{1}{4} = 0,25 \\ \color{Magenta} x=10:& \qquad \frac{1}{10} = 0,1 \\ \color{Magenta} x=1000000:& \qquad \frac{1}{10} = 0,000001 \end{align*} Jak widzisz, wraz ze zwiększającą się wartością $\color{Magenta} x$ zmniejsza się wynik całego wyrażenia, zbliżając się do zera. W granicy $\color{Magenta} \lim_{{x} \to {\infty}}$ nie mamy tylko liczby - mamy nieskończoność. Dlatego w wyniku otrzymujemy dokładnie zero.