Oblicz granicę funkcji:

Zanim przejdziemy do rozwiązywania, przypatrz się wykresowi funkcji i zastanów się, czy jej wartości dążą do jakiejś liczby wraz ze zwiększającymi się argumentami (czyli kiedy idziemy w prawo na osi X):

Przejdźmy do obliczeń: \begin{gather*} \textrm{Możemy rozdzielic tę granicę na dwie osobne:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}} \left( 2 + \frac{x+3}{3x+1} \right) = \lim_{{x} \to {\infty}}(2) + \lim_{{x} \to {\infty}} \frac{x+3}{3x+1}\\\\ {\color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}(2) = 2} \textrm{, więc skupmy się na drugiej:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}} \frac{x+3}{3x+1} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]\\\\ \textrm{Otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, więc musimy dokonać przekształcenia.}\\ \textrm{Wyciągnijmy }{\color{Cyan} x}\textrm{ przed nawias w liczniku i mianowniku:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}} \frac{x+3}{3x+1} = \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{x\left(1 + \frac{3}{x}\right)}{x\left(3+\frac{1}{x}\right)} = \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{1 + \frac{3}{x}}{3+\frac{1}{x}}\\\\ \textrm{Teraz możemy bezpośrednio policzyć granicę.}\\ \textrm{Po podstawieniu nieskończoności wszystkie elementy zaznaczone na czerwono dążą do zera:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{1 + {\color{Red}\frac{3}{x}}}{3+{\color{Red}\frac{1}{x}}} = \color{Cyan}\frac{1}{3}\\\\ \textrm{Wracamy do naszej pierwotnej granicy:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}} \left( 2 + \frac{x+3}{3x+1} \right) = 2 + \frac{1}{3} = \color{#00dd66} \frac{7}{3}\\\\\\ \end{gather*} Jeśli nie wiesz dlaczego te ułamki dążą do zera, oto krótkie wyjaśnienie:
Wyobraż sobie, że mamy ułamek $\;\displaystyle{\color{Magenta} \frac{1}{x}}\;$ i podstawiamy pod niego coraz większe wartości $\color{Magenta} x$. Zacznijmy od $\color{Magenta} x=1$ i stopniowo zwiększajmy wartość zmiennej: \begin{align*} \color{Magenta} x=1:& \qquad \frac{1}{1} = 1 \\ \color{Magenta} x=4:& \qquad \frac{1}{4} = 0,25 \\ \color{Magenta} x=10:& \qquad \frac{1}{10} = 0,1 \\ \color{Magenta} x=1000000:& \qquad \frac{1}{10} = 0,000001 \end{align*} Jak widzisz, wraz ze zwiększającą się wartością $\color{Magenta} x$ zmniejsza się wynik całego wyrażenia, zbliżając się do zera. W granicy $\color{Magenta} \lim_{{x} \to {\infty}}$ nie mamy tylko liczby - mamy nieskończoność. Dlatego w wyniku otrzymujemy dokładnie zero.