Oblicz granicę funkcji:

Zanim przejdziemy do rozwiązywania, przypatrz się wykresowi funkcji i zastanów się, czy jej wartości dążą do jakiejś liczby wraz ze zwiększającymi się argumentami (czyli kiedy idziemy w prawo na osi X):

Przejdźmy do obliczeń: \begin{gather*} \textrm{Skorzystamy z własności granic:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}} \left(\frac{3x-2}{1-5x} + 1 \right)^2 = \left( \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}} \left(\frac{3x-2}{1-5x} + 1 \right) \right)^2\\\\ \textrm{Skupmy się teraz na policzeniu tej granicy.}\\ \textrm{Możemy rozdzielic ję na dwie osobne:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}} \left(\frac{3x-2}{1-5x} + 1 \right) = \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{3x-2}{1-5x} + \lim_{{x} \to {\infty}}(1)\\\\ {\color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}(1) = 1} \textrm{, więc skupmy się na tej pierwszej:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}} \frac{3x-2}{1-5x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]\\\\ \textrm{Otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, więc musimy dokonać przekształcenia.}\\ \textrm{Wyciągnijmy }{\color{Cyan} x}\textrm{ przed nawias w liczniku i mianowniku:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}} \frac{3x-2}{1-5x} = \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{x\left(3 - \frac{2}{x}\right)}{x\left(\frac{1}{x}-5\right)} = \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{3 - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x}-5}\\\\ \textrm{Teraz możemy bezpośrednio policzyć granicę.}\\ \textrm{Po podstawieniu nieskończoności wszystkie elementy zaznaczone na czerwono dążą do zera:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{3 - {\color{Red}\frac{2}{x}}}{{\color{Red}\frac{1}{x}}-5} = \color{Cyan} -\frac{3}{5}\\\\ \textrm{Wracamy do naszej pierwotnej granicy:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}} \left(\frac{3x-2}{1-5x} + 1 \right)^2 = \left( \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{3x-2}{1-5x} + \lim_{{x} \to {\infty}}(1) \right)^2= \left( -\frac{3}{5} + 1 \right)^2\\\\ \textrm{Teraz wystarczy tylko uprościć:}\\\\ \color{Cyan} \left( -\frac{3}{5} + 1 \right)^2 = \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \color{#00dd66} \frac{4}{25}\\\\\\ \end{gather*} Jeśli nie wiesz dlaczego te ułamki dążą do zera, oto krótkie wyjaśnienie:
Wyobraż sobie, że mamy ułamek $\;\displaystyle{\color{Magenta} \frac{1}{x}}\;$ i podstawiamy pod niego coraz większe wartości $\color{Magenta} x$. Zacznijmy od $\color{Magenta} x=1$ i stopniowo zwiększajmy wartość zmiennej: \begin{align*} \color{Magenta} x=1:& \qquad \frac{1}{1} = 1 \\ \color{Magenta} x=4:& \qquad \frac{1}{4} = 0,25 \\ \color{Magenta} x=10:& \qquad \frac{1}{10} = 0,1 \\ \color{Magenta} x=1000000:& \qquad \frac{1}{10} = 0,000001 \end{align*} Jak widzisz, wraz ze zwiększającą się wartością $\color{Magenta} x$ zmniejsza się wynik całego wyrażenia, zbliżając się do zera. W granicy $\color{Magenta} \lim_{{x} \to {\infty}}$ nie mamy tylko liczby - mamy nieskończoność. Dlatego w wyniku otrzymujemy dokładnie zero.