Oblicz granicę funkcji:

Zanim przejdziemy do rozwiązywania, przypatrz się wykresowi funkcji i zastanów się, czy jej wartości dążą do jakiejś liczby wraz ze zwiększającymi się argumentami (czyli kiedy idziemy w prawo na osi X):

Przejdźmy do obliczeń: \begin{gather*} \textrm{Podstawiamy pod zmienną }{\color{Cyan} x} \textrm{ nieskończoność:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{\left( 2x^2 - 5 \right)^2}{7x^4+5x^2+7} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]\\\\ \textrm{Otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, więc musimy dokonać przekształcenia.}\\ \textrm{Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia:}\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{\left( 2x^2 - 5 \right)^2}{7x^4+5x^2+7} = \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{4x^2-20x^2+25}{7x^4+5x^2+7}\\\\ \textrm{Wyciągnijmy }{\color{Cyan} x^4}\textrm{ przed nawias w liczniku i mianowniku:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{4x^2-20x^2+25}{7x^4+5x^2+7} = \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{x^4\left(4-\frac{20}{x^2}+\frac{25}{x^4}\right)}{x^4\left(7+\frac{5}{x^2}+\frac{7}{x^4}\right)} = \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{4-\frac{20}{x^2}+\frac{25}{x^4}}{7+\frac{5}{x^2}+\frac{7}{x^4}}\\\\ \textrm{Teraz możemy bezpośrednio policzyć granicę.}\\ \textrm{Po podstawieniu nieskończoności wszystkie elementy zaznaczone na czerwono dążą do zera:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty}}\frac{4-{\color{Red}\frac{20}{x^2}}+{\color{Red}\frac{25}{x^4}}}{7+{\color{Red}\frac{5}{x^2}}+{\color{Red}\frac{7}{x^4}}} = \color{#00dd66}\frac{4}{7}\\\\ \end{gather*} Jeśli nie wiesz dlaczego te ułamki dążą do zera, oto krótkie wyjaśnienie:
Wyobraż sobie, że mamy ułamek $\;\displaystyle{\color{Magenta} \frac{1}{x}}\;$ i podstawiamy pod niego coraz większe wartości $\color{Magenta} x$. Zacznijmy od $\color{Magenta} x=1$ i stopniowo zwiększajmy wartość zmiennej: \begin{align*} \color{Magenta} x=1:& \qquad \frac{1}{1} = 1 \\ \color{Magenta} x=4:& \qquad \frac{1}{4} = 0,25 \\ \color{Magenta} x=10:& \qquad \frac{1}{10} = 0,1 \\ \color{Magenta} x=1000000:& \qquad \frac{1}{10} = 0,000001 \end{align*} Jak widzisz, wraz ze zwiększającą się wartością $\color{Magenta} x$ zmniejsza się wynik całego wyrażenia, zbliżając się do zera. W granicy $\color{Magenta} \lim_{{x} \to {\infty}}$ nie mamy tylko liczby - mamy nieskończoność. Dlatego w wyniku otrzymujemy dokładnie zero.