Oblicz granicę funkcji:

Zanim przejdziemy do rozwiązywania, przypatrz się wykresowi funkcji i zastanów się, czy jej wartości dążą do jakiejś liczby kiedy zbliżamy się do $\color{Cyan} x = -1$:

Aby obliczyć tę granicę, wykorzystamy regułę de l'Hospitala. Jeśli jeszcze o niej nie słyszałeś/aś, zajrzyj na Wikipedię lub stronę matemaks.pl. \begin{gather*} \textrm{Podstawiamy pod zmienną }{\color{Cyan} x} \textrm{ liczbę }{\color{Cyan} -1}:\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {-1}}\frac{x^4+3x^2-4}{x+1} = \frac{1+3-4}{-1+1} = \left[ \frac{0}{0} \right]\\\\ \textrm{Otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone.}\\ \textrm{Skorzystajmy z reguły }\textbf{de l'Hospitala:}\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {-1}}\frac{x^4+3x^2-4}{x+1} \overset{H}{=} \lim_{{x} \to {-1}}\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\left(x^4+3x^2-4\right)}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\left(x+1\right)} = \lim_{{x} \to {-1}}\frac{4x^3+6x}{1} = \lim_{{x} \to {-1}}\left( 4x^3+6x \right)\\\\ \textrm{Jeszcze raz podstawiamy }{\color{Cyan} -1}:\\\\ \color{Cyan} \lim_{{x} \to {-1}}\left( 4x^3+6x \right) = -4 - 6 = \color{#00dd66} -10 \end{gather*}