Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-07-20 22:53:00
Wyznacz wartości funkcji $\;\color{Cyan} cos(\theta) $, $\;\color{Cyan} tg(\theta) \;$ i $\;\color{Cyan} ctg(\theta) $ wiedząc, że:
$\displaystyle \color{#ff6600} sin(\theta) = \frac{4}{5} \;\;$ oraz $\;\;\displaystyle \color{#ff6600} \theta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) $
Rozwiążemy to zadanie korzystając z jedynki trygonometrycznej:
$$
\color{Cyan} \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1
$$
Jeśli jeszcze o niej nie słyszałeś, zachęcam do zobaczenia
filmu na Khan Academy .
Mamy podaną wartość $\color{Cyan} \sin(\theta) = \frac{4}{5}$. Aby skorzystać z napisanej wyżej tożsamości, podnosimy funkcję do kwadratu oraz układamy następujące równanie: \begin{gather*} \color{Cyan} \left( \frac{4}{5} \right)^2 + \cos^2(\theta) = 1\\\\ \color{Cyan} \frac{16}{25} + \cos^2(\theta) = 1 \end{gather*} Rozwiązujemy równanie ze względu na $\color{Cyan} \cos(\theta)$: \begin{gather*} \color{Cyan} \cos^2(\theta) = 1 - \frac{16}{25} \\\\ \color{Cyan} \cos^2(\theta) = \frac{9}{25} \\\\ \color{Cyan} \cos(\theta) = \pm \frac{3}{5} \\\\ \end{gather*} Kluczowy jest tutaj znak $\color{Cyan} \pm $, ponieważ dla niektórych kątów $\color{Cyan} \sin $ może być dodatni a $\color{Cyan} \cos $ ujemny. My jednak znamy zakres, w którym znajduje się nasz kąt $\color{Cyan} \theta $. W przedziale $\color{Cyan} \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ funkcja $\color{Cyan} \cos(\theta) $ przyjmuje wartości dodatnie zatem $\displaystyle \color{Cyan} \cos(\theta) = \color{#00dd66} \frac{3}{5}$.
Pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe funkcje, korzystając z podstawowych tożsamości trygonometrycznych: \begin{gather*} \color{Cyan} tg(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \color{#00dd66} \frac{4}{3}\\\\ \color{Cyan} ctg(\theta) = \frac{1}{tg(\theta)} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \color{#00dd66} \frac{3}{4}\\\\ \end{gather*} A tak wygląda kąt $\color{Cyan} \theta $ w okręgu jednostkowym:
Mamy podaną wartość $\color{Cyan} \sin(\theta) = \frac{4}{5}$. Aby skorzystać z napisanej wyżej tożsamości, podnosimy funkcję do kwadratu oraz układamy następujące równanie: \begin{gather*} \color{Cyan} \left( \frac{4}{5} \right)^2 + \cos^2(\theta) = 1\\\\ \color{Cyan} \frac{16}{25} + \cos^2(\theta) = 1 \end{gather*} Rozwiązujemy równanie ze względu na $\color{Cyan} \cos(\theta)$: \begin{gather*} \color{Cyan} \cos^2(\theta) = 1 - \frac{16}{25} \\\\ \color{Cyan} \cos^2(\theta) = \frac{9}{25} \\\\ \color{Cyan} \cos(\theta) = \pm \frac{3}{5} \\\\ \end{gather*} Kluczowy jest tutaj znak $\color{Cyan} \pm $, ponieważ dla niektórych kątów $\color{Cyan} \sin $ może być dodatni a $\color{Cyan} \cos $ ujemny. My jednak znamy zakres, w którym znajduje się nasz kąt $\color{Cyan} \theta $. W przedziale $\color{Cyan} \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ funkcja $\color{Cyan} \cos(\theta) $ przyjmuje wartości dodatnie zatem $\displaystyle \color{Cyan} \cos(\theta) = \color{#00dd66} \frac{3}{5}$.
Pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe funkcje, korzystając z podstawowych tożsamości trygonometrycznych: \begin{gather*} \color{Cyan} tg(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \color{#00dd66} \frac{4}{3}\\\\ \color{Cyan} ctg(\theta) = \frac{1}{tg(\theta)} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \color{#00dd66} \frac{3}{4}\\\\ \end{gather*} A tak wygląda kąt $\color{Cyan} \theta $ w okręgu jednostkowym:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
$\displaystyle \color{#00dd66} cos(\theta) = \frac{3}{5}$,
$\quad\displaystyle \color{#00dd66} tg(\theta) = \frac{4}{3}$,
$\quad\displaystyle \color{#00dd66} ctg(\theta) = \frac{3}{4} $