Wyznacz wartości funkcji $\;\color{Cyan} cos(\theta) $, $\;\color{Cyan} tg(\theta) \;$ i $\;\color{Cyan} ctg(\theta) $ wiedząc, że:

Rozwiążemy to zadanie korzystając z jedynki trygonometrycznej: $$ \color{Cyan} \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $$ Jeśli jeszcze o niej nie słyszałeś, zachęcam do zobaczenia filmu na Khan Academy.

Mamy podaną wartość $\color{Cyan} \sin(\theta) = \frac{3}{4}$. Aby skorzystać z napisanej wyżej tożsamości, podnosimy funkcję do kwadratu oraz układamy następujące równanie: \begin{gather*} \color{Cyan} \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \cos^2(\theta) = 1\\\\ \color{Cyan} \frac{9}{16} + \cos^2(\theta) = 1 \end{gather*} Rozwiązujemy równanie ze względu na $\color{Cyan} \cos(\theta)$: \begin{gather*} \color{Cyan} \cos^2(\theta) = 1 - \frac{9}{16} \\\\ \color{Cyan} \cos^2(\theta) = \frac{7}{16} \\\\ \color{Cyan} \cos(\theta) = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \\\\ \end{gather*} Kluczowy jest tutaj znak $\color{Cyan} \pm $, ponieważ dla niektórych kątów $\color{Cyan} \sin $ może być dodatni a $\color{Cyan} \cos $ ujemny. My jednak znamy zakres, w którym znajduje się nasz kąt $\color{Cyan} \theta $. W przedziale $\color{Cyan} \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ funkcja $\color{Cyan} \cos(\theta) $ przyjmuje wartości dodatnie zatem $\displaystyle \color{Cyan} \cos(\theta) = \color{#00dd66} \frac{\sqrt{7}}{4}$.
Pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe funkcje, korzystając z podstawowych tożsamości trygonometrycznych: \begin{gather*} \color{Cyan} tg(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \color{#00dd66} \frac{3\sqrt{7}}{7}\\\\ \color{Cyan} ctg(\theta) = \frac{1}{tg(\theta)} = \frac{1}{\frac{3}{\sqrt{7}}} = \color{#00dd66} \frac{\sqrt{7}}{3}\\\\ \end{gather*} A tak wygląda kąt $\color{Cyan} \theta $ w okręgu jednostkowym: