Wyznacz wartości funkcji $\;\color{Cyan} cos(\theta) $, $\;\color{Cyan} tg(\theta) \;$ i $\;\color{Cyan} ctg(\theta) $ wiedząc, że:

Rozwiążemy to zadanie korzystając z jedynki trygonometrycznej: $$ \color{Cyan} \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $$ Jeśli jeszcze o niej nie słyszałeś, zachęcam do zobaczenia filmu na Khan Academy.

Mamy podaną wartość $\color{Cyan} \sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{8}$. Aby skorzystać z napisanej wyżej tożsamości, podnosimy funkcję do kwadratu oraz układamy następujące równanie: \begin{gather*} \color{Cyan} \left( \frac{\sqrt{2}}{8} \right)^2 + \cos^2(\theta) = 1\\\\ \color{Cyan} \frac{2}{64} + \cos^2(\theta) = 1 \end{gather*} Rozwiązujemy równanie ze względu na $\color{Cyan} \cos(\theta)$: \begin{gather*} \color{Cyan} \cos^2(\theta) = 1 - \frac{2}{64} \\\\ \color{Cyan} \cos^2(\theta) = \frac{62}{64} \\\\ \color{Cyan} \cos(\theta) = \pm \frac{\sqrt{62}}{8} \\\\ \end{gather*} Kluczowy jest tutaj znak $\color{Cyan} \pm $, ponieważ dla niektórych kątów $\color{Cyan} \sin $ może być dodatni a $\color{Cyan} \cos $ ujemny. My jednak znamy zakres, w którym znajduje się nasz kąt $\color{Cyan} \theta $. W przedziale $\color{Cyan} \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ funkcja $\color{Cyan} \cos(\theta) $ przyjmuje wartości ujemne zatem $\displaystyle \color{Cyan} \cos(\theta) = \color{#00dd66} -\frac{\sqrt{62}}{8}$.
Pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe funkcje, korzystając z podstawowych tożsamości trygonometrycznych: \begin{gather*} \color{Cyan} tg(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{8}}{-\frac{\sqrt{62}}{8}} = -\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{62}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{62}} = -\frac{1}{\sqrt{31}} = \color{#00dd66} -\frac{\sqrt{31}}{31}\\\\ \color{Cyan} ctg(\theta) = \frac{1}{tg(\theta)} = \frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{31}}} = \color{#00dd66} -\sqrt{31}\\\\ \end{gather*} A tak wygląda kąt $\color{Cyan} \theta $ w okręgu jednostkowym: