Wyznacz wartości funkcji $\;\color{Cyan} sin(\theta) $, $\;\color{Cyan} tg(\theta) \;$ i $\;\color{Cyan} ctg(\theta) $ wiedząc, że:

Rozwiążemy to zadanie korzystając z jedynki trygonometrycznej: $$ \color{Cyan} \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $$ Jeśli jeszcze o niej nie słyszałeś, zachęcam do zobaczenia filmu na Khan Academy.

Mamy podaną wartość $\color{Cyan} \cos(\theta) = -\frac{\sqrt{11}}{6}$. Aby skorzystać z napisanej wyżej tożsamości, podnosimy funkcję do kwadratu oraz układamy następujące równanie: \begin{gather*} \color{Cyan} \sin^2(\theta) + \left( -\frac{\sqrt{11}}{6} \right)^2 = 1\\\\ \color{Cyan} \sin^2(\theta) + \frac{11}{36} = 1 \end{gather*} Rozwiązujemy równanie ze względu na $\color{Cyan} \cos(\theta)$: \begin{gather*} \color{Cyan} \sin^2(\theta) = 1 - \frac{11}{36} \\\\ \color{Cyan} \sin^2(\theta) = \frac{25}{36} \\\\ \color{Cyan} \sin(\theta) = \pm \frac{5}{6} \\\\ \end{gather*} Kluczowy jest tutaj znak $\color{Cyan} \pm $, ponieważ dla niektórych kątów $\color{Cyan} \cos $ może być dodatni a $\color{Cyan} \sin $ ujemny. My jednak znamy zakres, w którym znajduje się nasz kąt $\color{Cyan} \theta $. W przedziale $\color{Cyan} \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$ funkcja $\color{Cyan} \sin (\theta) $ przyjmuje wartości ujemne zatem $\displaystyle \color{Cyan} \sin(\theta) = \color{#00dd66} -\frac{5}{6}$.
Pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe funkcje, korzystając z podstawowych tożsamości trygonometrycznych: \begin{gather*} \color{Cyan} tg(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} = \frac{-\frac{\sqrt{11}}{6}}{-\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{11}}{6} \cdot \frac{6}{5} = \color{#00dd66} \frac{\sqrt{11}}{5}\\\\ \color{Cyan} ctg(\theta) = \frac{1}{tg(\theta)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{11}}{5}} = \frac{5}{\sqrt{11}} = \color{#00dd66} \frac{5\sqrt{11}}{11}\\\\ \end{gather*} A tak wygląda kąt $\color{Cyan} \theta $ w okręgu jednostkowym: