Oblicz wartość funkcji

Na początek przyjrzyjmy się funkcji ${\color{Cyan} \sin}$:

Zauważ, że po prawej stronie osi ${\color{Cyan} Y}$ funkcja przyjmuje dokładnie takie same wartości jak po lewej stronie z tą różnicą, że zmienia się znak. Przykład:

${\color{Cyan} \sin(2)}$ jest tym samym, co ${\color{Cyan} \sin(-2)}$ tylko ze zmienionym znakiem:
$\color{Cyan} \sin(2) \approx 0,9 \qquad \sin(-2) \approx -0,9 $
Czyli:
${\color{Cyan} \sin(x) = -\sin(-x)}$

Określamy tę zależność mianem nieparzystości funkcji. Odnosząc się zatem do naszego zadania mamy:

$\displaystyle \color{#ff6600} \sin\left( -\frac{7\pi}{4} \right) = -\sin\left( \frac{7\pi}{4} \right) $

Obliczenie takiej wartości ${\color{Cyan} \sin}$ będzie łatwiejsze. Teraz skorzystamy ze wzorów redukcyjnych. Jeśli jeszcze o nich nie słyszałeś/aś, to zajrzyj na Wikipedię.
Występują w tych wzorach wartości: ${\color{Cyan} \frac{\pi}{2}(90^\circ )}$, ${\color{Cyan} \pi(180^\circ )}$, ${\color{Cyan} \frac{3\pi}{2}(270^\circ )}$ oraz ${\color{Cyan} 2\pi(360^\circ )}$. Zauważamy, że:

$\displaystyle \color{Cyan} \frac{3\pi}{2} < {\color{#ff6600}\frac{7\pi}{4}} < 2\pi$

Więc najłatwiej będzie nam skorzystać ze wzoru zawierającego ${\color{Cyan} \frac{3\pi}{2}(270^\circ )}$ lub ${\color{Cyan} 2\pi(360^\circ )}$. Tak prezentuje się nasz kąt w okręgu jednostkowym:
Aby zobaczyć odniesienie do kątów ze wzorów redukcyjnych, zaznacz opcję "kąty we wzorach" i poruszaj suwakiem

Jak widzisz, nasz kąt znajduje się w ostatniej ćwiartce - pomiędzy kątem $\displaystyle \color{Cyan} \frac{3\pi}{2}$ a kątem $\displaystyle \color{Cyan} 2\pi$.

Zauważmy, że:

$\displaystyle \color{#ff6600} -\sin\left( \frac{7\pi}{4} \right) = -\sin\left(\frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) = -\sin\left( \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$

Skorzystamy więc ze wzoru: $\displaystyle \color{Cyan} \sin\left( \frac{3\pi}{2} + \theta \right) = -\cos(\theta)$. Zatem:

$\displaystyle \color{#ff6600} -\sin\left( \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right)$

Teraz wystarczy skorzystać z tabelki wartości funkcji trygonometrycznych:

$\displaystyle \color{#ff6600} \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \color{#00dd66} \frac{\sqrt{2}}{2}$