Wyznacz macierz $2 \times 2$ przekształcenia liniowego, które realizuje obrót przestrzeni o kąt $\color{Cyan} \theta$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem początku układu współrzędnych.

Zanim przejdziemy do obliczeń, przyjrzyj się poniższej wizualizacji. Wprowadź dowolną macierz $2 \times 2$ w odpowiednie pola, a następnie przesuń suwak w prawo, aby zobaczyć efekt przekształcenia.

Aby rozwiązać to zadanie, zastanówmy się jak działa mnożenie wektorów przez macierz w przekształceniu liniowym: \begin{gather*} \color{Cyan} F(\overrightarrow{x})= \begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x_1} \\ {x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a \cdot x_1 \; + \; b \cdot x_2} \\ {c \cdot x_1 \; + \; d \cdot x_2} \end{bmatrix} \end{gather*} (Używam tutaj zapisu wektorów w formie kolumnowej, gdyż w wielu przypadkach jest to wygodniejsze)
Ponieważ może nie być to od razu oczywiste, zapiszmy szczególny przypadek: \begin{gather*} \color{Cyan} \begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {1} \\ {0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a \cdot 1\; + \; b \cdot 0} \\ {c \cdot 1\; + \; d \cdot 0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a} \\ {c} \end{bmatrix}\\\\ \textrm{Oraz:}\\\\ \color{Cyan} \begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {0} \\ {1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a \cdot 0\; + \; b \cdot 1} \\ {c \cdot 0\; + \; d \cdot 1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {b} \\ {d} \end{bmatrix}\\ \end{gather*} Zauważ, że wektory bazy standardowej odwzorowywane są na kolumny macierzy przekształcenia. Innymi słowy, aby ułożyć odpowiednią macierz wystarczy wiedzieć na jakie wektory powinny przechodzić wektory z bazy standardowej!
Spróbujmy zatem rozwiązać nasze zadanie. Zrobimy to po kolei: najpierw sprawdzimy na co przechodzi wektor $\begin{bmatrix} {1} \\ {0} \end{bmatrix}$ a nstępnie weźniemy pod uwagę wektor $\begin{bmatrix} {0} \\ {1} \end{bmatrix}$.

Zdefiniujmy więc wektor z bazy standardowej: $\color{Cyan} e_1$. Pytanie brzmi: jak go obrócić o zadany kąt? Z pomocą przychodzi trygonometria. Przeanalizuj poniższą wizualizację, poruszając suwakiem:

Funkcje trygonometryczne kąta $\color{Cyan} \theta$ po prostu są równe różnicy na osi X oraz Y. Jest tak dlatego, że wektor $\color{Cyan} e_1$ ma długość równą 1.

Możemy więc powiedzieć, że: \begin{gather*} \color{Cyan} \begin{bmatrix} {1} \\ {0} \end{bmatrix} \huge \longmapsto \normalsize \begin{bmatrix} {\cos(\theta)} \\ {\sin(\theta)} \end{bmatrix}\\ \end{gather*} Super! Większość roboty za nami. Teraz zdefiniujmy $\color{Cyan} e_2$ i powtórzmy wszystko z niewielką modyfikacją:

Zauważ, że przy sinusie należy dopisać jeszcze minusa.

W końcu możemy wyznaczyć naszą macierz: \begin{gather*} \color{#00dd66} \begin{bmatrix} {\cos} & {-\sin} \\ {\sin} & {\cos} \end{bmatrix} \end{gather*}