Wyprowadź wzór na pole powierzchni koła, korzystając z poniższego równania okręgu

Aby rozwiązać to zadanie, skorzystamy z całki oznaczonej. Pozwala ona w łatwy sposób obliczyć pole pod funkcją typu $y=f(x)$. Dlatego przekształcimy najpierw nasze równanie: \begin{gather*} \color{Cyan} x^2+y^2=r^2 \\ \color{Cyan} y^2 = r^2 - x^2 \\ \color{Cyan} y = \pm \sqrt{r^2 - x^2} \end{gather*} Nas będzie interesować jedynie ćwiartka okręgu:

Obliczymy pole powierzchni pod tą krzywą a następnie pomnożymy przez 4.

\begin{gather*} \color{Cyan} \frac{P}{4} = \int_{0}^{r}\sqrt{r^2 - x^2}dx \end{gather*} Najpierw obliczymy całkę nieoznaczoną i dokonamy tu kilku przekształceń: \begin{gather*} \color{Cyan} \int \sqrt{r^2 - x^2}dx = \int \frac{r^2 - x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx = \int \frac{r^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx - \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx = \\\\ \color{Cyan} = r^2 \arcsin \left( \frac{x}{r} \right) - \color{#ff6600} \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx \end{gather*} Skupmy się teraz na obliczeniu drugiej całki: \begin{gather*} \color{#ff6600} \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx = \int x \cdot \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx \end{gather*} Skorzystamy z całkowania przez części. Wobec tego musimy się zastanowic jaka funkcja po zróżniczkowaniu da nam $ \color{#ff6600} \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}} $. Jest to nic innego jak całka z tego wyrażenia. Obliczymy ją używając podstawiania: \begin{gather*} \color{#9800cd} \int \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}} = \begin{vmatrix} {t=r^2-x^2} \\ {dt = -2x \, dx} \\ {-\frac{1}{2}dt = x \, dx} \end{vmatrix} = -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}}dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{t} + C = \color{#ff6600} -\sqrt{r^2 - x^2} + C \end{gather*} Możemy zapisać zatem: \begin{gather*} \color{#ff6600} \int x \cdot \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx = \int x \cdot \left( -\sqrt{r^2 - x^2} \right)'dx = -x\sqrt{r^2 - x^2} + \int \sqrt{r^2 - x^2} \end{gather*} Cóż, wróciliśmy do punktu wyjścia - pojawiła się całka, od której zaczęliśmy. To jednak bardzo upraszcza sprawę. Wiemy już bowiem czemu ta całka jest równa. Możemy zapisac następujące równanie: \begin{gather*} \color{#ff6600} \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx = -x\sqrt{r^2 - x^2} + r^2 \arcsin \left( \frac{x}{r} \right) - \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx \\\\ \color{#ff6600} 2\int \frac{x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx = -x\sqrt{r^2 - x^2} + r^2 \arcsin \left( \frac{x}{r} \right) + C \\\\ \color{#ff6600} \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx = -\frac{x}{2}\sqrt{r^2 - x^2} + \frac{r^2}{2} \arcsin \left( \frac{x}{r} \right) + C \end{gather*} Ostatecznie mamy: \begin{gather*} \color{Cyan} \int \sqrt{r^2 - x^2}dx = r^2 \arcsin \left( \frac{x}{r} \right) - {\color{#ff6600} \color{#ff6600} \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}dx} = \\\\ \color{Cyan} = r^2 \arcsin \left( \frac{x}{r} \right) + \color{#ff6600} \frac{x}{2}\sqrt{r^2 - x^2} - \frac{r^2}{2} \arcsin \left( \frac{x}{r} \right) + C = \\\\ \color{Cyan} = \frac{x}{2}\sqrt{r^2 - x^2} + \frac{r^2}{2} \arcsin \left( \frac{x}{r} \right) + C \end{gather*} Pozostało jedynie policzyć granice: \begin{gather*} \color{Cyan} \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}dx = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{r^2 - x^2} + \frac{r^2}{2} \arcsin \left( \frac{x}{r} \right) \right]_0^r = \\\\ \color{Cyan} \frac{r^2}{2}\arcsin(1) - \frac{r^2}{2}\arcsin(0) = \frac{r^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi r^2}{4} \end{gather*} Na koniec: \begin{gather*} \color{Cyan} \frac{P}{4} = \frac{\pi r^2}{4} \\\\ \color{#00dd66} P = \pi r^2 \end{gather*}