Wyprowadź wzór na pole powierzchni koła, korzystając ze współrzędnych biegunowych

Wprowadzenie Na początek krótko przypomnę czym są współrzędne biegunowe.
Zapewne najbardziej jesteś przyzwyczajony/a do współrzędnych kartezjańskich, gdzie każdy punkt opisywany jest za pomocą pary liczb $\color{Cyan} (x, y)$, gdzie:
$\color{Cyan} x $ - przesunięcie punktu na osi $ X $ względem początku układu
$\color{Cyan} y $ - przesunięcie punktu na osi $ Y $ względem początku układu

We współrzędnych biegunowych także możemy opisać dowolny punkt, jednak tym razem za pomocą pary $\color{Cyan} (r, \theta)$, gdzie:
$\color{Cyan} r $ - długość promienia prowadzącego do tego punktu
$\color{Cyan} \theta $ - kąt pomiędzy promieniem a osią $ X $

Przykład zamiany współrzędnych z układu kartezjańskiego na biegunowy:
Dany jest punkt: $\color{Cyan} (3, \, 4) $ we współrzędnych kartezjańskich. Ten sam punkt opisany we współrzędnych biegunowych będzie wyglądał tak: $\color{Cyan} (5, \, 0.927) $ ponieważ:
$\color{Cyan} r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $ oraz
$\color{Cyan} \theta = \mathrm{arctg}\left(\frac{4}{3}\right) = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right) = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \approx 0.927 $

Wizualizacja poniżej ilustruje przekształcenie współrzędnych kartezjańskich na biegunowe. Obserwuj zaznaczony punkt i sprawdź, jak zmienia on swoje położenie w zależności od przyjętej interpretacji współrzędnych: $\color{Cyan}(x, y)$ vs. $\color{Cyan}(r, \theta)$. Aby zastosować przekształcenie, przesuń suwak w prawo.

---

Intuicja i rozwiązanie Wyobraź sobie, że dzielimy koło na wiele drobnych fragmentów:

Na powyższej wizualizacji liczba tych fragmentów jest ograniczona, ale naszym celem jest podzielenie koła na nieskończenie wiele nieskończenie małych części.
Istotny jest jeszcze sposób podziału. Możemy to opisać w kilku krokach:
- Weź promień o długości zawierającej się pomiędzy 0 a promieniem końcowego koła (w przypadku powyższej wizualizacji pomiędzy 0 a 1).
- Wydłuż promień o nieskończenie małą wartość.
- Zrób cięcie w miejscu promienia.
- Zwiększ kąt pomiędzy promieniem a osią $ X $ o nieskończenie małą wartość.
- Dodaj cięcie.

Gdyby udało się obliczyć pole powierzchni każdego takiego fragmentu, moglibyśmy je zsumować – a suma ta dałaby nam pole całego koła.
Zacznijmy od zrozumienia, jakie wymiary ma pojedynczy fragment:

Zielone krawędzie mają długość $\color{Cyan}dr$. To nieskończenie mała różnica w promieniu – jakbyśmy wzięli pewną długość promienia i dodali do niej mikroskopijną wartość.

Pomarańczowe krawędzie mają długość $\color{Cyan}r\,d\theta$. Skąd to się bierze? Wyobraź sobie, że do kąta $\color{Cyan}\theta$ dodajemy nieskończenie małą wartość $\color{Cyan}d\theta$. Otrzymujemy wtedy malutki łuk o długości $\color{Cyan}r\,d\theta$(zaznaczony na wizualizacji na pomarańczowo). Dlaczego? Kąt w radianach informuje nas o długości łuku dla promienia równego 1. Jeśli jednak promień wynosi $\color{Cyan}r$, to długość łuku musi być $\color{Cyan}r$ razy większa – stąd właśnie $\color{Cyan}r\,d\theta$. Jeśli nie jest to oczywiste, zachęcam do zajrzenia na Wikipedię.

A dlaczego ta zewnętrzna krawędź ma tę samą długość, mimo że na oko widać, iż jest dłuższa? Pamiętajmy, że w zamyśle ten fragment ma być nieskończenie mały ($\color{Cyan} d\theta $ oraz $\color{Cyan} dr $ są nieskończenie małe). Dlatego krzywizna łuków (którą z tego powodu pominąłem na rysunku) oraz ich różnica w długościach są nieistotne. Kształt, który widać na powyższej wizualizacji w infinitezymalnej skali jest po prostu prostokątem.

Wiedząc to, możemy bardzo łatwo obliczyć jego pole: \begin{gather*} \color{Cyan} P_{fragmentu} = r\,dr\,d\theta \end{gather*} Teraz pojawia się pytanie: Jak obliczyć sumę wszystkich takich pól? Z odpowiedzią przychodzą całki podwójne. Będziemy całkowac po zmiennej $\color{Cyan} r $ a następnie po zmiennej $\color{Cyan} \theta $. Najpierw ustalamy granice całkowania: \begin{gather*} \color{Cyan} 0 \le \theta \le 2\pi \\ \color{Cyan} 0 \le r \le R \end{gather*} Duże $\color{Cyan} R $ to poprostu promień koła - maksymalne wychylenie dla zmiennej $\color{Cyan} r $. Jeśli chodzi o granice przy $\color{Cyan} \theta $ to sprawa wygląda bardzo prosto: liczymy pole dla każdej części koła w zakresie od $\color{Cyan} 0 $ do kąta pełnego.
Nasza całka będzie wyglądac następująco: \begin{gather*} \color{Cyan} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R}r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{1}{2}r^2 \right]_0^R d\theta = \frac{R^2}{2}\int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{R^2}{2} \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{R^2}{2} \cdot 2\pi = \pi R^2 \end{gather*} Zmienna $\color{Cyan} r $(małe) już jest nie używana, więc możemy zamienić duże R na małe: \begin{gather*} \displaystyle \color{#00dd66} P = \pi r^2 \end{gather*}