Sparametryzuj elipsę zadaną równaniem $\displaystyle \color{Cyan} \; \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $, gdzie $\color{Cyan}\; a, b \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$

Czym jest parametryzacja? Na początek przypomnijmy sobie czym w ogóle jest parametryzacja jakiejś krzywej. Możemy o tym myśleć jak o wprowadzeniu dodatkowego parametru (np. $t$) i opisaniu za jego pomocą osobno $x$ i $y$.
Aby lepiej zobrazować parametryzację, zdefiniujmy funkcję $\color{Cyan} \; y=x^2\;$ oraz zobaczmy jak wygląda przykładowa parametryzacja (na razie nie przejmuj się jeśli nie wiesz jak sparametryzowałem tę funkcję): \begin{align*}\color{Cyan} x(t) &\color{Cyan}= t \\\color{Cyan} y(t) &\color{Cyan}= t^2 \end{align*} Możesz się też czasami spotkać z takim zapisem: \begin{align*}\color{Cyan} f(t) = \begin{bmatrix} {t} \\ {t^2} \end{bmatrix} \end{align*} Ja będę używać właśnie tego drugiego zapisu. Podkreśla on wektorowy charakter funkcji parametrycznej.
Wartość tej funkcji interpretujemy jako współrzędne punktu w układzie. Podstawmy kilka wartości pod parametr $\color{Cyan} t$ i przenieśmy powstałe punkty na układ współrzędnych: \begin{align*}\color{Cyan} t=-2:& \qquad \color{Cyan} f(-2) = \begin{bmatrix} {-2} \\ {4} \end{bmatrix} \color{#ff6600} \quad \longrightarrow \quad A(-2, 4) \\\\\color{Cyan} t=-\frac{3}{2}:& \qquad \color{Cyan} f(-\frac{3}{2}) = \begin{bmatrix} {-\frac{3}{2}} \\ {\frac{9}{4}} \end{bmatrix} \color{#ff6600} \quad \longrightarrow \quad B\left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) \\\\\color{Cyan} t=-1:& \qquad \color{Cyan} f(-1) = \begin{bmatrix} {-1} \\ {1} \end{bmatrix} \color{#ff6600} \quad \longrightarrow \quad C(-1, 1) \\\\\color{Cyan} \vdots \end{align*}

Teraz wyobraź sobie, że nie podstawiamy pojedynczych wartości pod $\color{Cyan} t$ a cały przedział lub zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. To nie będzie już "kilka" punktów na układzie - będzie ich nieskończenie wiele i utworzą one krzywą:

Zauważ, że krzywa, która powstała ma dokładnie ten sam kształt, co funkcja $\color{Cyan} \; y=x^2$. Tym właśnie jest parametryzacja.

Trzeba jeszcze podkreślić, że parametryzacja nigdy nie jest jedyna. Zawsze istnieje nieskończenie wiele możliwości zapisania równania za pomocą parametru $\color{Cyan} t$.
W powyższym przykładzie ustaliłem, że $\color{Cyan} x(t) = t$ a następnie, korzystając ze wzoru funkcji, obliczyłem $\color{Cyan} y(t)$. A czy mogłem ustalić na przykład, że $\color{Cyan} x(t) = -\frac{1}{2}t$? Oczywiście! Wyglądałoby to tak: \begin{gather*}\color{Cyan} x = -\frac{1}{2}t \\\\\color{Cyan} y = x^2 = \left(-\frac{1}{2}t\right)^2 = \frac{1}{4}t^2 \\\\\color{Cyan} f(t) = \begin{bmatrix} {\frac{1}{2}t^2} \\ {\frac{1}{4}t} \end{bmatrix} \end{gather*} Podstaw kilka różnych wartości pod $t$ i przekonaj się czy faktycznie powstaje kształt paraboli!

---

Rozwiązanie Jeśli miałeś/aś kiedyś do czynienia z parametryzacją, to zapewne kojarzysz coś takiego: \begin{gather*}\color{Cyan} f(t) = \begin{bmatrix} {\cos(t)} \\ {\sin(t)} \end{bmatrix} \end{gather*} Jest to oczywiście parametryzacja okręgu jednostkowego danego równaniem: $\displaystyle \color{Cyan} \; x^2+y^2=1 $.
Teraz mamy do czynienia z elipsą. Cóż, jedno i drugie wygląda podobnie, więc może tu też będziemy miec funkcje trygonometryczne? Okazuje się, że z nimi jest najłatwiej. Spójrzmy na nasze równanie: \begin{gather*}\color{Cyan} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{gather*} Gdyby nie współczynniki $\color{Cyan} a$ i $\color{Cyan} b$, to wyglądałoby tak samo jak zwykłe równanie okręgu. Spróbujmy w takim razie podstawić pod $\color{#ff6600} x=a\cos(t)$. Wówczas ułamek nam się skróci: \begin{gather*}\color{Cyan} \frac{\color{#ff6600}a^2\cos^2(t)}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\\\\color{Cyan} \cos^2(t)+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{gather*} Pozostało obliczyć $\color{Cyan} y$: \begin{gather*}\color{Cyan} \frac{y^2}{b^2}=1 - \cos^2(t)\\\\\color{Cyan} y^2 = \left(1 - \cos^2(t)\right)b^2\\\\\color{#ff6600} y = b\sin(t) \end{gather*} A więc: \begin{gather*}\color{#ff6600} f(t) = \begin{bmatrix} {a\cos(t)} \\ {b\sin(t)} \end{bmatrix} \end{gather*} Na koniec należy ustalić w jakim przedziale znajduje się parametr $\color{#ff6600} t $. $\color{#ff6600} \sin $ i $\color{#ff6600} \cos$ są funkcjami okresowymi o okresie wynoszącym $\color{#ff6600} 2\pi $. Powyżej tej liczby wartości funkcji $\color{#ff6600} f(t) $ zaczną się powtarzać. Innymi słowy, zaczniemy rysować kolejne, dokładnie takie same elipsy w tym samym miejscu - jedna na drugiej. Górną granicą będzie więc $\color{#ff6600} 2\pi $. Dolną zaś będzie $\color{#ff6600} 0 $. Dlaczego? Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe zarówno do nieskończoności jak i do minus nieskończoności. Ostateczna parametryzacja wygląda następująco: \begin{gather*}\color{#00dd66} f(t) = \begin{bmatrix} {a\cos(t)} \\ {b\sin(t)} \end{bmatrix} \\\\\color{#00dd66} 0 \le t \le 2\pi \end{gather*} Na koniec spójrz na wizualizację poniżej. Poruszając suwakami możesz regulować granice przedziału $\color{#ff6600} t $ oraz wartości współczynników $\color{#ff6600} a $ i $\color{#ff6600} b $: