Sparametryzuj okrąg zadany równaniem $\displaystyle \color{Cyan} \; x^2+y^2=r^2 $

Czym jest parametryzacja? Na początek przypomnijmy sobie czym w ogóle jest parametryzacja jakiejś krzywej. Możemy o tym myśleć jak o wprowadzeniu dodatkowego parametru (np. $t$) i opisaniu za jego pomocą osobno $x$ i $y$.
Aby lepiej zobrazować parametryzację, zdefiniujmy funkcję $\color{Cyan} \; y=x^2\;$ oraz zobaczmy jak wygląda przykładowa parametryzacja (na razie nie przejmuj się jeśli nie wiesz jak sparametryzowałem tę funkcję): \begin{align*}\color{Cyan} x(t) &\color{Cyan}= t \\\color{Cyan} y(t) &\color{Cyan}= t^2 \end{align*} Możesz się też czasami spotkać z takim zapisem: \begin{align*}\color{Cyan} f(t) = \begin{bmatrix} {t} \\ {t^2} \end{bmatrix} \end{align*} Ja będę używać właśnie tego drugiego zapisu. Podkreśla on wektorowy charakter funkcji parametrycznej.
Wartość tej funkcji interpretujemy jako współrzędne punktu w układzie. Podstawmy kilka wartości pod parametr $\color{Cyan} t$ i przenieśmy powstałe punkty na układ współrzędnych: \begin{align*}\color{Cyan} t=-2:& \qquad \color{Cyan} f(-2) = \begin{bmatrix} {-2} \\ {4} \end{bmatrix} \color{#ff6600} \quad \longrightarrow \quad A(-2, 4) \\\\\color{Cyan} t=-\frac{3}{2}:& \qquad \color{Cyan} f(-\frac{3}{2}) = \begin{bmatrix} {-\frac{3}{2}} \\ {\frac{9}{4}} \end{bmatrix} \color{#ff6600} \quad \longrightarrow \quad B\left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) \\\\\color{Cyan} t=-1:& \qquad \color{Cyan} f(-1) = \begin{bmatrix} {-1} \\ {1} \end{bmatrix} \color{#ff6600} \quad \longrightarrow \quad C(-1, 1) \\\\\color{Cyan} \vdots \end{align*}

Teraz wyobraź sobie, że nie podstawiamy pojedynczych wartości pod $\color{Cyan} t$ a cały przedział lub zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. To nie będzie już "kilka" punktów na układzie - będzie ich nieskończenie wiele i utworzą one krzywą:

Zauważ, że krzywa, która powstała ma dokładnie ten sam kształt, co funkcja $\color{Cyan} \; y=x^2$. Tym właśnie jest parametryzacja.

Trzeba jeszcze podkreślić, że parametryzacja nigdy nie jest jedyna. Zawsze istnieje nieskończenie wiele możliwości zapisania równania za pomocą parametru $\color{Cyan} t$.
W powyższym przykładzie ustaliłem, że $\color{Cyan} x(t) = t$ a następnie, korzystając ze wzoru funkcji, obliczyłem $\color{Cyan} y(t)$. A czy mogłem ustalić na przykład, że $\color{Cyan} x(t) = -\frac{1}{2}t$? Oczywiście! Wyglądałoby to tak: \begin{gather*}\color{Cyan} x = -\frac{1}{2}t \\\\\color{Cyan} y = x^2 = \left(-\frac{1}{2}t\right)^2 = \frac{1}{4}t^2 \\\\\color{Cyan} f(t) = \begin{bmatrix} {\frac{1}{2}t^2} \\ {\frac{1}{4}t} \end{bmatrix} \end{gather*} Podstaw kilka różnych wartości pod $\color{Cyan} t$ i przekonaj się czy faktycznie powstaje kształt paraboli!

---

Rozwiązanie Być może z lekcji matematyki poświęconych trygonometrii kojarzysz pojęcie okręgu jednostkowego. To po prostu okrąg o promieniu 1, który ma bezpośredni związek z funkcjami trygonometrycznymi. Dzięki nim możemy określić współrzędne dowolnego punktu na tym okręgu.
Spójrz na poniższą wizualizację. Poruszaj suwakiem, aby zmieniać kąt $\color{Cyan} \theta$, a wraz z nim położenie punktu:

Możemy zdefiniować kąt pomiędzy osią $X$ a promieniem (wektorem) prowadzącym do punktu na okręgu. Wiemy, że promień ma długość równą jeden, więc $\color{Cyan} \sin(\theta)$ i $\color{Cyan} \cos(\theta)$ są proporcjami, które mają w mianowniku jedynkę. To znaczy, że współrzędne punktu na okręgu odpowiadają bezpośrednio tym funkcjom trygonometrycznym.
W powyższej wizualizacji mogłeś/aś zmieniać tylko wartość kąta $\color{Cyan} \theta$, a mimo to wystarczało to, aby określić dwie współrzędne punktu. To właśnie jest istota parametryzacji. Możemy więc zapisać: \begin{gather*}\color{Cyan} f(\theta) = \begin{bmatrix} {\cos(\theta)} \\ {\sin(\theta)} \end{bmatrix} \end{gather*} To parametryzacja okręgu jednostkowego. Ale nas interesuje ogólniejszy przypadek - okrąg o promieniu $\color{Cyan}r$. Wróć myślami do powyższej wizualizacji i wyobraź sobie, że długość promienia (strzałki) to teraz $\color{Cyan}r$. Jak wtedy zmienią się długości przyprostokątnych widocznego tam trójkąta? $\color{Cyan}r$.
Będą to $\color{Cyan}r\cos(\theta)$ i $\color{Cyan}r\sin(\theta)$. Parametryzacja będzie więc wyglądała tak: \begin{gather*}\color{Cyan} f(\theta) = \begin{bmatrix} {r\cos(\theta)} \\ {r\sin(\theta)} \end{bmatrix} \end{gather*} Najczęściej jednak w funkcjach parametrycznych używa się parametru $\color{Cyan}t$, więc końcowo zapis przyjmuje postać: \begin{gather*}\color{#00dd66} f(t) = \begin{bmatrix} {r\cos(t)} \\ {r\sin(t)} \end{bmatrix} \end{gather*} Pozostaje jeszcze określić przedział parametru. Będzie to zakres od $\color{Cyan}0$ do $\color{Cyan}2\pi$, ponieważ tyle potrzeba, by przejść cały okrąg - od kąta zerowego do pełnego.


Na koniec spójrz na wizualizację poniżej. Poruszając suwakami możesz regulować granice przedziału $\color{Cyan} t $ oraz długość promienia: