Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-08-06 22:34:00
Oblicz długość krzywej $\displaystyle \color{Cyan} f(t) = \begin{bmatrix} {\frac{2}{3}t^3-2t} \\ {2t^2} \end{bmatrix} $ w przedziale $\color{Cyan} -2 \le t \le 2$
Rozwiązanie podzielimy na dwie części: najpierw przeprowadzimy obliczenia z wykorzystaniem całki krzywoliniowej, a następnie wyjaśnię, co się za tym kryje - skąd bierze się ta metoda i jak ją intuicyjnie rozumieć.
Rozwiązanie
Na początek zobacz jak wygląda krzywa podana w treści zadania. Możesz manipulować granicami parametru $\color{Cyan} t$ przesuwając odpowiednie suwaki:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Wzór na długość krzywej parametrycznej prezentuje się następująco:
\begin{gather*}\color{Cyan}
L = \int_{a}^{b} \sqrt{dx^2 + dy^2} \\\\
\textrm{Lub alternatywny zapis:} \\\\\color{Cyan}
L = \int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt
\end{gather*}
Krzywą zadaną parametrycznie mamy już podaną w poleceniu:
\begin{gather*}\color{Cyan}
f(t) =
\begin{bmatrix}
{\frac{2}{3}t^3-2t} \\
{2t^2}
\end{bmatrix}\\\\
\textrm{Lub alternatywny zapis:} \\\\\color{Cyan}
\begin{bmatrix}
{x(t)} \\
{y(t)}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
{\frac{2}{3}t^3-2t} \\
{2t^2}
\end{bmatrix}\\\\
\end{gather*}
Jeśli nie jesteś jeszcze zaznajomiony z parametryzacją, to zachęcam do przeanalizowania zadania dotyczącego parametryzacji okręgu .
Aby skorzystać ze wzoru na długość krzywej, obliczamy różniczki $\color{Cyan} dx$ i $\color{Cyan} dy$. W tym celu liczymy obustronnie pochodną z funkcji $\color{Cyan} x(t)$ oraz $\color{Cyan} y(t)$: \begin{gather*}\color{Cyan} \begin{cases} {x(t)} = {\frac{2}{3}t^3-2t} \\ {y(t)} = {2t^2} \end{cases}\\\\\color{Cyan} \begin{cases} {dx} = {(2t^2-2)dt} \\ {dy} = {4t\,dt} \end{cases} \end{gather*} Mamy zatem już wszystko, co potrzeba. Możemy podstawić pod całkę: \begin{gather*}\color{Cyan} \int_{a}^{b} \sqrt{dx^2 + dy^2} = \int_{-2}^{2} \sqrt{\left((2t^2-2)dt\right)^2 + \left(4t\,dt\right)^2}= \int_{-2}^{2} \sqrt{(2t^2-2)^2 + (4t)^2}\,dt = \int_{-2}^{2} \sqrt{4t^4+8t^2+4}\,dt = \\\\\color{Cyan}= \int_{-2}^{2} \sqrt{(2t^2+2)^2}\,dt = \int_{-2}^{2} \left| 2t^2+2 \right|\,dt = \left[ \frac{2}{3}t^3+2t \right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3}+4-\left( -\frac{16}{3}-4 \right) = \color{#00dd66} \frac{56}{3} \end{gather*}
Wyjaśnienie i intuicja
Zastanówmy się jak moglibyśmy policzyć przybliżoną długość krzywej bez znajomości całek. Weźmy na tapet taką funkcję w przedziale $\color{Cyan} x \in [-2, 2]$:
Aby skorzystać ze wzoru na długość krzywej, obliczamy różniczki $\color{Cyan} dx$ i $\color{Cyan} dy$. W tym celu liczymy obustronnie pochodną z funkcji $\color{Cyan} x(t)$ oraz $\color{Cyan} y(t)$: \begin{gather*}\color{Cyan} \begin{cases} {x(t)} = {\frac{2}{3}t^3-2t} \\ {y(t)} = {2t^2} \end{cases}\\\\\color{Cyan} \begin{cases} {dx} = {(2t^2-2)dt} \\ {dy} = {4t\,dt} \end{cases} \end{gather*} Mamy zatem już wszystko, co potrzeba. Możemy podstawić pod całkę: \begin{gather*}\color{Cyan} \int_{a}^{b} \sqrt{dx^2 + dy^2} = \int_{-2}^{2} \sqrt{\left((2t^2-2)dt\right)^2 + \left(4t\,dt\right)^2}= \int_{-2}^{2} \sqrt{(2t^2-2)^2 + (4t)^2}\,dt = \int_{-2}^{2} \sqrt{4t^4+8t^2+4}\,dt = \\\\\color{Cyan}= \int_{-2}^{2} \sqrt{(2t^2+2)^2}\,dt = \int_{-2}^{2} \left| 2t^2+2 \right|\,dt = \left[ \frac{2}{3}t^3+2t \right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3}+4-\left( -\frac{16}{3}-4 \right) = \color{#00dd66} \frac{56}{3} \end{gather*}
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Najlepszym sposobem jest zaznaczenie kilku punktów na tej funkcji i korzystając ze wzoru na odległość punktów na układzie współrzędnych (czyli tak naprawdę twierdzenia Pitagorasa), obliczyć długości odcinków łączących te punkty. Suma długości takich odcinków będzie przybliżoną długością krzywej. Obrazuje to poniższa wizualizacja:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Czyli:
1. Rysujemy punkty.
2. Łączymy je odcinkami.
3. Liczymy długości odcinków.
4. Dodajemy te długości.
Niestety, to tylko przybliżenie. Jeśli zależałoby nam na dokładniejszym wyniku, musielibyśmy narysować wiele takich punktów i policzyć długości naprawdę wielu odcinków. To nie tylko męczące, ale nakłada duże ryzyko pomyłki. A nadal... to tylko przybliżenie.
Zobaczmy jednak co się dzieje jeśli liczba tych odcinków rośnie. Zauważ jak przybliżona tym sposobem długość zbliża się do rzeczywistej:
1. Rysujemy punkty.
2. Łączymy je odcinkami.
3. Liczymy długości odcinków.
4. Dodajemy te długości.
Niestety, to tylko przybliżenie. Jeśli zależałoby nam na dokładniejszym wyniku, musielibyśmy narysować wiele takich punktów i policzyć długości naprawdę wielu odcinków. To nie tylko męczące, ale nakłada duże ryzyko pomyłki. A nadal... to tylko przybliżenie.
Zobaczmy jednak co się dzieje jeśli liczba tych odcinków rośnie. Zauważ jak przybliżona tym sposobem długość zbliża się do rzeczywistej:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Wyobraźmy sobie teraz, że dzielimy interesujący nas przedział (od $\color{Cyan}-2$ do $\color{Cyan}2$) na nieskończenie wiele części. W każdej z tych części zatrzymujemy się i zaznaczamy punkt należący do wykresu funkcji. Skoro podział jest nieskończony, to na naszej krzywej znajdzie się również nieskończenie wiele punktów. Z punktów tych możemy utworzyć nieskończenie wiele krótkich odcinków przybliżających naszą krzywą. Jeżeli zsumujemy długości tych wszystkich odcinków, otrzymamy już nie tylko przybliżenie, ale dokładną długość krzywej.
Jeśli wobec tego poznalibyśmy jakiś algorytm na wyznaczenie długości wszystkich tych nieskończenie krótkich odcinków, moglibyśmy obliczyć sumę. Oto jak to zrobić:
Jeśli wobec tego poznalibyśmy jakiś algorytm na wyznaczenie długości wszystkich tych nieskończenie krótkich odcinków, moglibyśmy obliczyć sumę. Oto jak to zrobić:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Powyższa wizualizacja przedstawia nieskończenie duże powiększenie na jeden z odcinków. Dlatego właśnie nie widać już krzywizny niebieskiej funkcji.
Odcinek o długości $dx$ jest nieskończenie małą różnicą na osi $X$ - to jedna z tych małych części na które dzieliliśmy cały przedział $\color{Cyan}[-2, 2]$.
$\color{Cyan}dy$ to zmiana wartości funkcji, czyli różnica między wysokościami dwóch bardzo bliskich punktów na wykresie. Innymi słowy, to o ile zmienia się $y$, gdy $x$ zmienia się o $\color{Cyan}dx$.
Zatrzymujemy się, rysujemy punkt na funkcji, przesuwamy się na osi $X$ o nieskończenie mały przyrost $\color{Cyan}dx$ a następnie znowu rysujemy punkt na funkcji.
Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość odcinka, który nas interesuje: $\color{Cyan} \sqrt{dx^2+dy^2}$.
Ale czym tak naprawdę jest to $\color{Cyan}dx$ i $\color{Cyan}dy$? Aby to zrozumieć, spójrzmy na definicję pochodnej: \begin{gather*}\color{Cyan} f'(x) = \lim_{{h} \to {0}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{gather*} A teraz bardziej uważnie: \begin{gather*}\color{Cyan} \color{#88cc00}\qquad \qquad \quad dy\\\color{Cyan} f'(x) = \lim_{{h} \to {0}} \frac{\color{#88cc00}\overbrace{f(x+h)-f(x)}}{\color{#cccc00}\underbrace{\;\;h\;\;}}\\\color{#cccc00} \qquad \qquad \quad dy \end{gather*} Pochodna mówi nam o nachyleniu funkcji, zatem jest proporcją między nieskończenie małym przyrostem na osi $Y$ i $X$. Być może znasznotację wprowadzoną przez Gottfrieda Wilhelma Leibniza :
\begin{gather*}\color{Cyan}
f'(x) = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}
\end{gather*}
Jeśli nie jesteś zaznajomiony/a z intuicją pochodnej, to zachęcam do obejrzenia filmu na Khan Academy poświęconego właśnie temu zagadnieniu.
W przypadku funkcji parametrycznych możemy obliczyć osobno pochodną $\color{Cyan} x(t)$ oraz $\color{Cyan} y(t)$: \begin{gather*}\color{Cyan} x'(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\\\\color{Cyan} y'(t) = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \end{gather*} A w przypadku funkcji typu $\color{Cyan} y=f(x)$ (nieparametrycznych)? Zawsze można je sparametryzować!
Choć zapis $\color{Cyan} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ wygląda jak zwykły ułamek, formalnie jest to granica, a nie dzielenie. Jednak w praktyce – szczególnie w analizie i geometrii różniczkowej – można go traktować tak, jakby był ułamkiem. Dlatego powyższe równania można "pomnożyć" przez $\color{Cyan} \mathrm{d}t$: \begin{gather*}\color{Cyan} \mathrm{d}x = x'(t)dt \\\color{Cyan} \mathrm{d}y = y'(t)dt \end{gather*} Oto czym dokładnie jest $\color{Cyan} \mathrm{d}x$ i $\color{Cyan} \mathrm{d}y$.
Skoro już to wiemy, można obliczyć sumę wszystkich odcinków "przybliżających" naszą funkcję. Wiemy także, że liczba naszych odcinków jest nieskończona a każdy jest nieskończenie krótki. Właśnie tutaj z pomocą przychodzi całka: \begin{gather*}\color{Cyan} L = \int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt \end{gather*}
Odcinek o długości $dx$ jest nieskończenie małą różnicą na osi $X$ - to jedna z tych małych części na które dzieliliśmy cały przedział $\color{Cyan}[-2, 2]$.
$\color{Cyan}dy$ to zmiana wartości funkcji, czyli różnica między wysokościami dwóch bardzo bliskich punktów na wykresie. Innymi słowy, to o ile zmienia się $y$, gdy $x$ zmienia się o $\color{Cyan}dx$.
Zatrzymujemy się, rysujemy punkt na funkcji, przesuwamy się na osi $X$ o nieskończenie mały przyrost $\color{Cyan}dx$ a następnie znowu rysujemy punkt na funkcji.
Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość odcinka, który nas interesuje: $\color{Cyan} \sqrt{dx^2+dy^2}$.
Ale czym tak naprawdę jest to $\color{Cyan}dx$ i $\color{Cyan}dy$? Aby to zrozumieć, spójrzmy na definicję pochodnej: \begin{gather*}\color{Cyan} f'(x) = \lim_{{h} \to {0}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{gather*} A teraz bardziej uważnie: \begin{gather*}\color{Cyan} \color{#88cc00}\qquad \qquad \quad dy\\\color{Cyan} f'(x) = \lim_{{h} \to {0}} \frac{\color{#88cc00}\overbrace{f(x+h)-f(x)}}{\color{#cccc00}\underbrace{\;\;h\;\;}}\\\color{#cccc00} \qquad \qquad \quad dy \end{gather*} Pochodna mówi nam o nachyleniu funkcji, zatem jest proporcją między nieskończenie małym przyrostem na osi $Y$ i $X$. Być może znasz
W przypadku funkcji parametrycznych możemy obliczyć osobno pochodną $\color{Cyan} x(t)$ oraz $\color{Cyan} y(t)$: \begin{gather*}\color{Cyan} x'(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\\\\color{Cyan} y'(t) = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \end{gather*} A w przypadku funkcji typu $\color{Cyan} y=f(x)$ (nieparametrycznych)? Zawsze można je sparametryzować!
Choć zapis $\color{Cyan} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ wygląda jak zwykły ułamek, formalnie jest to granica, a nie dzielenie. Jednak w praktyce – szczególnie w analizie i geometrii różniczkowej – można go traktować tak, jakby był ułamkiem. Dlatego powyższe równania można "pomnożyć" przez $\color{Cyan} \mathrm{d}t$: \begin{gather*}\color{Cyan} \mathrm{d}x = x'(t)dt \\\color{Cyan} \mathrm{d}y = y'(t)dt \end{gather*} Oto czym dokładnie jest $\color{Cyan} \mathrm{d}x$ i $\color{Cyan} \mathrm{d}y$.
Skoro już to wiemy, można obliczyć sumę wszystkich odcinków "przybliżających" naszą funkcję. Wiemy także, że liczba naszych odcinków jest nieskończona a każdy jest nieskończenie krótki. Właśnie tutaj z pomocą przychodzi całka: \begin{gather*}\color{Cyan} L = \int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt \end{gather*}
$\displaystyle \color{#00dd66} \frac{56}{3} $