Oblicz pole powierzchni równoległoboku rozpiętego przez wektory $ \;\color{Cyan} \overrightarrow{v} \;$ i $\; \color{Cyan} \overrightarrow{w} $

Zadanie polega na obliczeniu pola powierzchni równoległoboku przedstawionego poniżej:

Skorzystamy tutaj z najprostrzego i zarazem najszybszego sposobu - poprzez obliczenie wyznacznika macierzy.
Rozwiązanie podzielmy na dwie części. W pierwszej rozwiążemy zadanie, a w drugiej objaśnię dlaczego ten sposób działa i jaki ma związek z odwzorowaniami liniowymi.

---

Rozwiązanie \begin{gather*} \textrm{Dla lepszej czytelności użyjmy kolorów:}\\ \color{Cyan} \overrightarrow{v}= \begin{bmatrix} {3} \\ {-\frac{1}{2}} \end{bmatrix},\; \color{Orange} \overrightarrow{w}= \begin{bmatrix} {-1} \\ {2} \end{bmatrix}\\ \textrm{Tworzymy macierz składającą się z naszych wektorów zapisanych w postaci kolumnowej:}\\ A=\begin{bmatrix} {\color{Cyan}3} & {\color{Orange}-1} \\ {\color{Cyan}-\frac{1}{2}} & {\color{Orange}2} \end{bmatrix}\\ \textrm{Teraz obliczamy wyznacznik powyższej macierzy:}\\ \det\left( A \right)=\begin{vmatrix} {\color{Cyan}3} & {\color{Orange}-1} \\ {\color{Cyan}-\frac{1}{2}} & {\color{Orange}2} \end{vmatrix} = {\color{Cyan}3}\cdot {\color{Orange}2}-\left( {\color{Orange}-1}\cdot {\color{Cyan}\left( -\frac{1}{2} \right)} \right) = 5\tfrac{1}{2}\\ \textrm{Pole powierzchni naszego równoległoboku, to wartość bezwzględna z tego wyznacznika:}\\ \color{Green} P = \left| 5\tfrac{1}{2} \right| = 5\tfrac{1}{2} \end{gather*}

---

Wyjaśnienie Teraz spróbuję wyjaśnić, co tak naprawdę obliczyliśmy.
Macierze są wykorzystywane do definiowania przekształceń liniowych. Jeśli to pojęcie jest dla ciebie obce, możesz zapoznać się z artykułem na Wikipedii.
Użyjmy macierzy z zadania, aby zdefiniować przekształcenie (odwzorowanie) liniowe: \begin{gather*} F\left( \overrightarrow{x} \right) = \begin{bmatrix} {\color{Cyan}3} & {\color{Orange}-1} \\ {\color{Cyan}-\frac{1}{2}} & {\color{Orange}2} \end{bmatrix}\overrightarrow{x} \end{gather*} Pod $\color{Cyan} \overrightarrow{x}$ podstawiamy dowolny wektor z przestrzeni $\mathbb{R}^2$, a następnie, mnożąc go przez macierz, otrzymujemy nowy wektor — analogicznie jak w przypadku zwykłych funkcji $f(x)$, które znasz ze szkoły, z tą różnicą, że zmienną jest wektor a nie liczba. Możemy także zwizualizować przekształcenie całej powierzchni (przesuń suwak w prawo, aby zastosować transformację):

Zauważ, że wektor $\color{Cyan} \begin{bmatrix} {1} \\ {0} \end{bmatrix}$ przechodzi na wektor $\color{Cyan} \begin{bmatrix} {3} \\ {-\frac{1}{2}} \end{bmatrix}$, a wektor $\color{Orange} \begin{bmatrix} {0} \\ {1} \end{bmatrix}$ przechodzi na wektor $\color{Orange} \begin{bmatrix} {-1} \\ {2} \end{bmatrix}$. Odpowiada to dokładnie wektorom kolumnowym naszej macierzy: \begin{gather*} \begin{bmatrix} {\color{Cyan}3} & {\color{Orange}-1} \\ {\color{Cyan}-\frac{1}{2}} & {\color{Orange}2} \end{bmatrix} \end{gather*} Tak więc wiemy, już, że macierz definiuje nam przekształcenie liniowe. A jaką rolę pełni w tym wszystkim wyznacznik?
Wyznacznik macierzy mówi nam ile razy zmieniło się pole powierzchni dowolnej figury po zastosowaniu przekształcenia. Krótko mówiąc, mówi nam przez jaką liczbę przemnożyło się pole powierzchni figury przedstawionej poniżej (choć działa to oczywiście na dowolną figurę):

Odnosząc się do naszego zadania: wyznacznik był równy $ \color{Green}5\tfrac{1}{2} $, więc jeśli pierwotne pole powierzchni jakiegoś obiektu w układzie współrzędnych było równe np. $ \color{Green}3 $, to pole powierzchni po transformacji (z użyciem tej właśnie macierzy) będzie wynosić $ \;\color{Green}3\cdot 5\tfrac{1}{2} = \frac{33}{2}$
Nasze zadanie polegało na obliczeniu pola powierzchni równoległoboku, ale oto, co zrobiliśmy:
1. Znaleźliśmy macierz przekształcenia liniowego, która przekształca wektory $\color{Cyan} \begin{bmatrix} {1} \\ {0} \end{bmatrix}$ oraz $\color{Cyan} \begin{bmatrix} {0} \\ {1} \end{bmatrix}$ na wektory podane w treści zadania.
2. Policzyliśmy pole powierzchni kwadratu o boku 1 przed transformacją.
3. Pomnożyliśmy uzyskane pole przez wyznacznik macierzy, aby uzyskać pole "kwadratu" po transformacji.
Oczywiście punktu drugiego nie wykonywaliśmy świadomie. W końcu pole kwadratu o boku 1 jest równe 1, zatem nie zmienia ono wyniku mnożenia. Niemniej, w taki sposób wygląda to ze strony przekształceń liniowych.


Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, zobacz film na kanale 3Blue1Brown.