Oblicz pole powierzchni trójkąta rozpiętego przez wektory $ \;\color{Cyan} \overrightarrow{v} \;$ i $\; \color{Cyan} \overrightarrow{w} $

Zadanie polega na obliczeniu pola powierzchni trójkąta przedstawionego poniżej:

Skorzystamy tutaj z najprostrzego i zarazem najszybszego sposobu - poprzez obliczenie wyznacznika macierzy.
Rozwiązanie podzielmy na dwie części. W pierwszej rozwiążemy zadanie, a w drugiej objaśnię dlaczego ten sposób działa i jaki ma związek z odwzorowaniami liniowymi.

---

Rozwiązanie \begin{gather*} \textrm{Dla lepszej czytelności użyjmy kolorów:}\\ \color{Cyan} \overrightarrow{v}= \begin{bmatrix} {5} \\ {2} \end{bmatrix},\; \color{Orange} \overrightarrow{w}= \begin{bmatrix} {2} \\ {5} \end{bmatrix}\\ \textrm{Tworzymy macierz składającą się z naszych wektorów zapisanych w postaci kolumnowej:}\\ A=\begin{bmatrix} {\color{Cyan}6} & {\color{Orange}2} \\ {\color{Cyan}2} & {\color{Orange}5} \end{bmatrix}\\ \textrm{Teraz obliczamy wyznacznik powyższej macierzy:}\\ \det\left( A \right)=\begin{vmatrix} {\color{Cyan}6} & {\color{Orange}2} \\ {\color{Cyan}2} & {\color{Orange}5} \end{vmatrix} = {\color{Cyan}6}\cdot {\color{Orange}5}-{\color{Cyan}2}\cdot {\color{Orange}2} = 26\\ \textrm{Pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na tych wektorach}\\\textrm{jest równa wartości bezwzględnej z tego wyznacznika:}\\ \color{Green} P_{\textrm{równoległobok}} = \left| 26 \right| = 26\\ \textrm{Pole powierzchni trójkąta to po prostu połowa z tego:}\\ \color{Green} P_{\textrm{trójkąt}} = \frac{26}{2} = 13 \end{gather*}

---

Wyjaśnienie Teraz spróbuję wyjaśnić, co tak naprawdę obliczyliśmy.
Macierze są wykorzystywane do definiowania przekształceń liniowych. Jeśli to pojęcie jest dla ciebie obce, możesz zapoznać się z artykułem na Wikipedii.
Użyjmy macierzy z zadania, aby zdefiniować przekształcenie (odwzorowanie) liniowe: \begin{gather*} F\left( \overrightarrow{x} \right) = \begin{bmatrix} {\color{Cyan}3} & {\color{Orange}1} \\ {\color{Cyan}1} & {\color{Orange}2} \end{bmatrix}\overrightarrow{x} \end{gather*} Pod $\color{Cyan} \overrightarrow{x}$ podstawiamy dowolny wektor z przestrzeni $\mathbb{R}^2$, a następnie, mnożąc go przez macierz, otrzymujemy nowy wektor — analogicznie jak w przypadku zwykłych funkcji $f(x)$, które znasz ze szkoły, z tą różnicą, że zmienną jest wektor a nie liczba. Możemy także zwizualizować przekształcenie całej powierzchni (przesuń suwak w prawo, aby zastosować transformację):

Zauważ, że wektor $\color{Cyan} \begin{bmatrix} {1} \\ {0} \end{bmatrix}$ przechodzi na wektor $\color{Cyan} \begin{bmatrix} {3} \\ {1} \end{bmatrix}$, a wektor $\color{Orange} \begin{bmatrix} {0} \\ {1} \end{bmatrix}$ przechodzi na wektor $\color{Orange} \begin{bmatrix} {1} \\ {2} \end{bmatrix}$. Odpowiada to dokładnie wektorom kolumnowym naszej macierzy: \begin{gather*} \begin{bmatrix} {\color{Cyan}3} & {\color{Orange}1} \\ {\color{Cyan}1} & {\color{Orange}2} \end{bmatrix} \end{gather*} Tak więc wiemy, już, że macierz definiuje nam przekształcenie liniowe. A jaką rolę pełni w tym wszystkim wyznacznik?
Wyznacznik macierzy mówi nam ile razy zmieniło się pole powierzchni dowolnej figury po zastosowaniu przekształcenia. Krótko mówiąc, mówi nam przez jaką liczbę przemnożyło się pole powierzchni figury przedstawionej poniżej (choć działa to oczywiście na dowolną figurę):

Odnosząc się do naszego zadania: wyznacznik był równy $ \color{Green}26 $, więc jeśli pierwotne pole powierzchni jakiegoś obiektu w układzie współrzędnych było równe np. $ \color{Green}3 $, to pole powierzchni po transformacji (z użyciem tej właśnie macierzy) będzie wynosić $ \;\color{Green}3\cdot 26 = 78$
Nasze zadanie polegało na obliczeniu pola powierzchni trójkąta, ale oto, co zrobiliśmy:
1. Znaleźliśmy macierz przekształcenia liniowego, która przekształca wektory $\color{Cyan} \begin{bmatrix} {1} \\ {0} \end{bmatrix}$ oraz $\color{Cyan} \begin{bmatrix} {0} \\ {1} \end{bmatrix}$ na wektory podane w treści zadania.
2. Policzyliśmy pole powierzchni trójkąta rozpiętego przez wektory $\color{Cyan} \begin{bmatrix} {1} \\ {0} \end{bmatrix}$ oraz $\color{Cyan} \begin{bmatrix} {0} \\ {1} \end{bmatrix}$ przed transformacją (wynosi ono $\frac{1}{2}$).
3. Pomnożyliśmy uzyskane pole przez wyznacznik macierzy, aby uzyskać pole trójkąta po transformacji.


Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, zobacz film na kanale 3Blue1Brown.