Określ zbiór wartości funkcji $ \color{Cyan} f(x) $

Przypomnijmy sobie jak wygląda funkcja $\color{Cyan} \sin(x)$:

Jak widzimy, zbiór wartości tej funkcji jest przedziałem $\color{Cyan}[-1; \, 1]$.
Teraz przyjrzyjmy się funkcji z polecenia: \begin{gather*}\color{Cyan} f(x)=4\sin^2(x)+8\sin(x)+2 \end{gather*} Zmienna $\color{Cyan}x$ występuje tylko pod sinusami, więc możemy traktować całą funkcję $\color{Cyan}\sin(x)$ jako argument. Swtórzmy nową funkcję $\color{Cyan}g(t)$, zastępując $\color{Cyan}\sin(x)$ argumentem $\color{Cyan}t$: \begin{gather*}\color{Cyan} t=\sin(x)\\\\\color{Cyan} g(t) = 4t^2 + 8t + 2 \end{gather*} Prawidłowe będzie wówczas równanie: \begin{gather*}\color{Cyan} g(\sin(x)) = f(x)\\\\ \textrm{Dla dowolnego argumentu } \color{Cyan}x\in \mathbb{R} \end{gather*} Czym zatem jest funkcja $\color{Cyan}g(t)$? Jest to funkcja, która jako argumenty przyjmuje wartości funkcji $\color{Cyan}\sin(x)$ i zwraca wartości te same, co funkcja $\color{Cyan}f(x)$. Na przykład: \begin{gather*}\color{Cyan} f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + 8\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \\\\ {\color{Orange} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 }\textrm{ więc:} \\\\\color{Cyan} f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 \cdot {\color{Orange} 1}^2 + 8 \cdot {\color{Orange} 1} + 2 = \color{Green} 14 \\\\ \textrm{a to jest to samo co:} \\\\\color{Cyan} g({\color{Orange} 1}) = 4 \cdot {\color{Orange} 1}^2 + 8 \cdot {\color{Orange} 1} + 2 = \color{Green} 14 \end{gather*} Skoro w takim razie funkcja $\color{Cyan}g(t)$ przyjmuje jako argumenty $\color{Cyan}\sin(x)$, to należy ograniczyć jej dziedzinę. Będzie to przedział: $\color{Cyan}t\in [-1; \, 1]$.
Obliczając zbiór wartości funkcji $\color{Cyan}g(t)$, liczymy jednocześnie zbiór wartości funkcji $\color{Cyan}f(x)$
Widzimy, że $\color{Cyan}g(t)$ jest funkcją kwadratową. Już zapewne wiesz jak określić jej zbiór wartości. W tym celu trzeba poznać współrzędne wierzchołka. My skupimy się jednak na początek tylko na pierwszej współrzędnej: \begin{gather*}\color{Cyan} g(t) = 4t^2 + 8t + 2\\\\\color{Orange} a=4 \quad b=8 \quad c=2\\\\\color{Cyan} p = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2\cdot 4} = -1 \end{gather*} Pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa $\color{Cyan}-1$. To oznacza, że dla $\color{Cyan}t=-1$ funkcja $\color{Cyan}g(t)$ ma wierzchołek - a konkretniej minimum lokalne, bo ramiona paraboli są skierowane w górę.
Najmniejszą wartością funkcji $\color{Cyan}g(t)$ w przedziale $\color{Cyan}[-1; \, 1]$ jest więc $\color{Cyan}g(-1)$: \begin{gather*}\color{Cyan} g(-1) = 4 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) + 2 = \color{Green} -2 \\\\\color{Cyan} \end{gather*} A największa wartość? Będzie to naturalnie drugi koniec naszej funkcji $\color{Cyan}g(t)$ czyli $\color{Cyan}g(1)$: \begin{gather*}\color{Cyan} g(-1) = (-1)^2 - 8 \cdot (-1) - 5 = \color{Green} 4 \\\\\color{Cyan} g(1) = 4 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 + 2 = \color{Green} 14 \end{gather*} A tak wygląda wykres funkcji $\color{Cyan}g(t)$:

Zwróć uwagę na podpisy przy osiach. Pionowa oś to wartość funkcji $\color{Cyan}f(x)$ a pozioma to wartość sinusa czyli argument $\color{Cyan}t$.

Zatem zbiór wartości naszej funkcji to: \begin{gather*}\color{#00dd66} [-2; \, 14] \end{gather*}


Podsumowując:
1. Zdefiniowaliśmy funkcję pomocniczą $\color{Cyan}g(t)$, która zwraca wartości funkcji $\color{Cyan}f(x)$ w zależności od wartości sinusa.
2. Obliczyliśmy zbiór wartości funkcji $\color{Cyan}g(t)$ dla $\color{Cyan}t \in [-1; \, 1]$.