Określ zbiór wartości funkcji $ \color{Cyan} f(x) $

Przypomnijmy sobie jak wygląda funkcja $\color{Cyan} \cos(x)$:

Jak widzimy, zbiór wartości tej funkcji jest przedziałem $\color{Cyan} [-1, 1]$. Możemy zapisać to w następujący sposób: $$\color{Cyan} -1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1 $$ Wyrażenie znajdujące się w nawiasie (jako argument funkcji $\color{Cyan} \cos(x)$) nie wpływa na zbiór wartości. Zmienia jedynie okres funkcji oraz przesówa ją wzdłuż osi $X$. Możemy zatem uprościć naszą funkcję: $$\color{#ff6600} f_2(x)=\frac{1}{2}\cos\left(x\right)+\frac{1}{2} $$ Będziemy teraz przeprowadzać operacje: \begin{gather*}\color{Cyan} -1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1 \quad /\cdot \frac{1}{2} \\\\\color{Cyan} -\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2}\cos(x) \leqslant \frac{1}{2} \quad /+\frac{1}{2} \\\\\color{Cyan} 0 \leqslant \frac{1}{2}\cos(x)+\frac{1}{2} \leqslant 1 \end{gather*} Zatem zbiór wartości naszej funkcji to: \begin{gather*}\color{#00dd66} [0, 1] \end{gather*}
Możemy także o tym mysleć jak o przekształceniach wykresu funkcji. Najpierw zmniejszyliśmy amplitudę o połowę, a następnie przesunęliśmy funkcję o pół jednostki do góry.

Pomarańczowa linia to wykres funkcji $\color{#ff6600} f_2(x)$ a niebieska to $\color{Cyan} f(x)$