Określ zbiór wartości funkcji $ \color{Cyan} f(x) $

Przypomnijmy sobie jak wygląda funkcja $\color{Cyan} \sin(x)$:

Jak widzimy, zbiór wartości tej funkcji jest przedziałem $\color{Cyan}[-1; \, 1]$.
Teraz przyjrzyjmy się funkcji z polecenia: \begin{gather*}\color{Cyan} f(x)=\frac{2-4\sin\left(x\right)}{\sin\left(x\right)+4} \end{gather*} Zmienna $\color{Cyan}x$ występuje tylko pod sinusami, więc możemy traktować całą funkcję $\color{Cyan}\sin(x)$ jako argument. Swtórzmy nową funkcję $\color{Cyan}g(t)$, zastępując $\color{Cyan}\sin(x)$ argumentem $\color{Cyan}t$: \begin{gather*}\color{Cyan} t=\sin(x)\\\\\color{Cyan} g(t) = \frac{2-4t}{t+4} \end{gather*} Prawidłowe będzie wówczas równanie: \begin{gather*}\color{Cyan} g(\sin(x)) = f(x)\\\\ \textrm{Dla dowolnego argumentu } \color{Cyan}x\in \mathbb{R} \end{gather*} Czym zatem jest funkcja $\color{Cyan}g(t)$? Jest to funkcja, która jako argumenty przyjmuje wartości funkcji $\color{Cyan}\sin(x)$ i zwraca wartości te same, co funkcja $\color{Cyan}f(x)$. Na przykład: \begin{gather*}\color{Cyan} f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2-4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+4} \\\\ {\color{Orange} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 }\textrm{ więc:} \\\\\color{Cyan} f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2-4 \cdot {\color{Orange}1}}{{\color{Orange}1}+4} = \color{Green} -\frac{2}{5} \\\\ \textrm{a to jest to samo, co:} \\\\\color{Cyan} g({\color{Orange} 1}) = \frac{2-4 \cdot {\color{Orange}1}}{{\color{Orange}1}+4} = \color{Green} -\frac{2}{5} \end{gather*} Skoro w takim razie funkcja $\color{Cyan}g(t)$ przyjmuje jako argumenty $\color{Cyan}\sin(x)$, to należy ograniczyć jej dziedzinę. Będzie to przedział: $\color{Cyan}t\in [-1; \, 1]$.
Obliczając zbiór wartości funkcji $\color{Cyan}g(t)$, liczymy jednocześnie zbiór wartości funkcji $\color{Cyan}f(x)$
Widzimy, że $\color{Cyan}g(t)$ jest funkcją wymierną. Być może już wiesz jak policzyć jej zbiór wartości. W tym celu trzeba policzyć wartości tej funkcji w dwóch skrajnych punktach ($\color{Cyan}-1$ i $\color{Cyan}1$) oraz zastanowić się gdzie przebiega asymptota pionowa: \begin{gather*}\color{Orange} g(t) = \frac{2-4t}{t+4} \\\\\color{Cyan} g(-1) = \frac{2-4 \cdot (-1)}{-1+4} = \frac{6}{3} = \color{Green} 2 \\\\\color{Cyan} g(1) = \frac{2-4 \cdot 1}{1+4} = \color{Green}-\frac{2}{5} \end{gather*} Asymptota znajduje się w punkcie nieciągłości, czyli dla $\color{Cyan}t=-4$, a więc poza interesującym nas przedziałem. Jeśli punkt nieciągłości byłby w przedziale $\color{Cyan}[-1; \, 1]$, to skrajne wartości funkcji ($\color{Cyan}g(-1)$ i $\color{Cyan}g(1)$) znajdowałyby się na dwóch różnych gałęziach hiperboli. Wówczas zbiór wartości byłby całym zbiorem liczb rzeczywistych z wyłączeniem przedziału między wartościami funkcji w skrajnych punktach. To dlatego, że jedna gałąź zmierzałaby do nieskończoności w punkcie nieciągłości, a druga do minus nieskończoności.


A tak wygląda wykres funkcji $\color{Cyan}g(t)$:

Zwróć uwagę na podpisy przy osiach. Pionowa oś to wartość funkcji $\color{Cyan}f(x)$ a pozioma to wartość sinusa czyli argument $\color{Cyan}t$.

Zatem zbiór wartości naszej funkcji to: \begin{gather*}\color{#00dd66} \left[ -\frac{2}{5}; \, 2\right] \end{gather*}


Podsumowując:
1. Zdefiniowaliśmy funkcję pomocniczą $\color{Cyan}g(t)$, która zwraca wartości funkcji $\color{Cyan}f(x)$ w zależności od wartości sinusa.
2. Obliczyliśmy zbiór wartości funkcji $\color{Cyan}g(t)$ dla $\color{Cyan}t \in [-1; \, 1]$.