Określ zbiór wartości funkcji $ \color{Cyan} f(x) $

Przypomnijmy sobie jak wygląda funkcja $\color{Cyan} \cos(x)$:

Jak widzimy, zbiór wartości tej funkcji jest przedziałem $\color{Cyan}[-1; \, 1]$.
Teraz przyjrzyjmy się funkcji z polecenia: \begin{gather*}\color{Cyan} f(x)=\frac{1}{\cos^{2}\left(x\right)+4\cos\left(x\right)-2} \end{gather*} Zmienna $\color{Cyan}x$ występuje tylko pod cosinusami, więc możemy traktować całą funkcję $\color{Cyan}\cos(x)$ jako argument. Swtórzmy nową funkcję $\color{Cyan}g(t)$, zastępując $\color{Cyan}\cos(x)$ argumentem $\color{Cyan}t$: \begin{gather*}\color{Cyan} t=\cos(x)\\\\\color{Cyan} g(t) = \frac{1}{t^{2}+4t-2} \end{gather*} Prawidłowe będzie wówczas równanie: \begin{gather*}\color{Cyan} g(\cos(x)) = f(x)\\\\ \textrm{Dla dowolnego argumentu } \color{Cyan}x\in \mathbb{R} \end{gather*} Czym zatem jest funkcja $\color{Cyan}g(t)$? Jest to funkcja, która jako argumenty przyjmuje wartości funkcji $\color{Cyan}\cos(x)$ i zwraca wartości te same, co funkcja $\color{Cyan}f(x)$. Na przykład: \begin{gather*}\color{Cyan} f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)+4\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-2} \\\\ {\color{Orange} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 }\textrm{ więc:} \\\\\color{Cyan} f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{{\color{Orange}0}^2+4\cdot {\color{Orange}0}-2} = \color{Green} -\frac{1}{2} \\\\ \textrm{a to jest to samo, co:} \\\\\color{Cyan} g({\color{Orange} 0}) = \frac{1}{{\color{Orange}0}^2+4\cdot {\color{Orange}0}-2} = \color{Green} -\frac{1}{2} \end{gather*} Skoro w takim razie funkcja $\color{Cyan}g(t)$ przyjmuje jako argumenty $\color{Cyan}\cos(x)$, to należy ograniczyć jej dziedzinę. Będzie to przedział: $\color{Cyan}t\in [-1; \, 1]$.
Obliczając zbiór wartości funkcji $\color{Cyan}g(t)$, liczymy jednocześnie zbiór wartości funkcji $\color{Cyan}f(x)$
Widzimy, że $\color{Cyan}g(t)$ jest funkcją wymierną. Być może już wiesz jak policzyć jej zbiór wartości. W tym celu trzeba policzyć wartości tej funkcji w dwóch skrajnych punktach ($\color{Cyan}-1$ i $\color{Cyan}1$) oraz zastanowić się gdzie przebiega asymptota pionowa: \begin{gather*}\color{Orange} g(t) = \frac{1}{t^{2}+4t-2} \\\\\color{Cyan} g(-1) = \frac{1}{(-1)^{2}+4 \cdot (-1)-2} = \color{Green} -\frac{1}{5} \\\\\color{Cyan} g(1) = \frac{1}{1^{2}+4 \cdot 1-2} = \color{Green}\frac{1}{3} \end{gather*} A jeśli chodzi o asymptotę, to znajduje się ona w punkcie nieciągłości, czyli dla argumentu $\color{Cyan}t$, dla którego mianownik jest zerem. Obliczmy więc miejsca zerowe funkcji z mianownika: \begin{gather*}\color{Orange} h(t) = t^{2}+4t-2 \\\\\color{Cyan} \Delta = 4^2-4\cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24 \\\\\color{Cyan} \sqrt{\Delta} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\\\\ \textrm{liczymy miejsca zerowe:} \\\\\color{Magenta} t_1 = \frac{-4-2\sqrt{6}}{2} = -2-\sqrt{6}\\\\\color{Magenta} t_2 = \frac{-4+2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}-2 \end{gather*} $\color{Magenta}\sqrt{6}$ jest liczbą pomiędzy $2$ a $3$, więc miejsce zerowe $\color{Magenta}t_2$ znajduje się w interesującym nas zakresie ($\color{Cyan}[-1; \, 1]$). $\color{Magenta}t_1$ możemy natomiast pominąć, ponieważ nie należy do tego zakresu.

Ponieważ pomiędzy dwoma punktami skrajnymi znajduje się asymptota, oznacza to, że punkty $\color{Magenta}g(-1)$ i $\color{Magenta}g(1)$ leżą na dwóch różnych gałęziach hiperboli. Zbliżając się do punktu nieciągłości, mogą wystąpić trzy sytuacje:
1. Jedna z gałęzi hiperboli dąży do $+\infty$, a druga do $-\infty$.
2. Obie gałęzie dążą do $+\infty$.
3. Obie gałęzie dążą do $-\infty$.

W mianowniku funkcji $\color{Magenta}g(t)$ występuje funkcja kwadratowa, która ma dwa miejsca zerowe (przecina oś $X$, a nie tylko jej dotyka), więc w punkcie nieciągłości funkcji $\color{Magenta}g(t)$ znak wartości zmienia się. Wobec tego mamy tutaj do czynienia z pierwszym przypadkiem.
Dla pełnego potwierdzenia moglibyśmy jeszcze policzyć granicę lewostronną i prawostronną – jedna z nich dałaby w wyniku $\color{Magenta}+\infty$, a druga $\color{Magenta}-\infty$.


A tak wygląda wykres funkcji $\color{Cyan}g(t)$:

Zwróć uwagę na podpisy przy osiach. Pionowa oś to wartość funkcji $\color{Cyan}f(x)$ a pozioma to wartość cosinusa czyli argument $\color{Cyan}t$.

Zatem zbiór wartości naszej funkcji to: \begin{gather*}\color{#00dd66} \left( -\infty; \, -\frac{1}{5}\right] \cup \left[ \frac{1}{3}; \, \infty \right) \end{gather*}


Podsumowując:
1. Zdefiniowaliśmy funkcję pomocniczą $\color{Cyan}g(t)$, która zwraca wartości funkcji $\color{Cyan}f(x)$ w zależności od wartości sinusa.
2. Obliczyliśmy zbiór wartości funkcji $\color{Cyan}g(t)$ dla $\color{Cyan}t \in [-1; \, 1]$.