Narysuj wykres funkcji $\color{Cyan} f(x) $

Przypomnijmy sobie jak wygląda funkcja $\color{Cyan} \sin(x)$:

W zadaniach tego typu najczęściej spotkasz się z przekształceniami podstawowych funkcji trygonometrycznych, które najlepiej wykonywać w mniej więcej takiej kolejności:
1. Zmiana okresu i amplitudy
2. Przesunięcie wykresu funkcji w pionie lub poziomie
3. Odbicia, odwrotności, symetrie itp.


Podejdziemy do rozwiązania w ten sposób, że zaczniemy od podstawowej funkcji $\color{Cyan} \sin(x)$ i kolejnymi przekształceniami doprowadzimy ją do postaci z treści zadania.

W naszym przypadku amplituda pozostaje bez zmian, natomiast okres już się zmienia. Okres zależy od mnożnika przy zmiennej $x$ w funkcji $\color{Cyan} \sin(x)$.
Na poniższej wizualizacji możesz zobaczyć, jak okres zmienia się w zależności od tego współczynnika:

Standardowo okres funkcji $\color{Cyan} \sin(x)$ wynosi $\color{Cyan} 2\pi$. W naszym zadaniu zmienna $x$ jest mnożona przez $\color{Cyan} -\frac{1}{2}$. Na razie pominiemy znak minusa i skupimy się na funkcji $\color{Cyan} \sin\left(\frac{x}{2}\right)$. Można to traktować tak, jakby „spowolnić” zmianę argumentu $x$ o połowę. W efekcie funkcja "wolniej" faluje, a okres wydłuża się dwukrotnie: $\color{Cyan} 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
Oznacza to, że dla wszystkich punktów na wykresie współrzędna $x$ zostanie pomnożona przez 2.
Wróć teraz do powyższego wykresu i ustaw suwak na wartość $0{,}5$ - tak wygląda funkcja $\color{Cyan} \sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
Jeśli wciąż masz problem z obliczaniem okresu, zachęcam do przeanalizowania jednego z zadań poświęconych tej tematyce.

Przejdźmy teraz do stałej $\color{Cyan} -\frac{\pi}{4}$. Jest ona dodana wewnątrz funkcji $\color{Cyan} \sin(x)$, więc powoduje przesunięcie wykresu wzdłuż osi $X$. Dokładniej, każdy punkt przesuwa się o $\color{Cyan} \frac{\pi}{2}$ w prawo (czyli około $1{,}57$). Dlaczego akurat tyle?
Spójrzmy na wzór funkcji i trochę go przekształćmy: $$ \color{Cyan} \sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right)$$ Przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi $X$, to nic innego jak "podmiana" argumentu $\color{Cyan}x$ na $ \color{Cyan} x+a$. Możemy patrzeć na to w taki sposób, że przesuwamy całą oś $X$ o jakąś liczbę $ \color{Cyan}a$.
W naszym przykładzie będzie to przesunięcie o $\color{Cyan}\frac{\pi}{2}$ w prawo, gdyż od argumentu $ \color{Cyan}x$ odejmujemy tę właśnie liczbę.
Przesuń suwak w lewo, aby zobaczyć jak będzie wyglądała nasza funkcja:

Teraz wracamy do znaku minus, który wcześniej pominęliśmy. Nie wpływa on na okres (bo okres jest długością, a ta nie może być ujemna), ale wpływa na wygląd wykresu. Dodanie tego minusa odpowiada odbiciu względem osi $Y$: punkty z lewej strony przenosimy na prawą, a te z prawej – na lewą. Przesuń suwak w prawo, aby zobaczyć tę zmianę:

Na koniec zostaje jeszcze minus przed całą funkcją. Powoduje on odbicie wykresu względem osi $X$. Przesuń suwak w prawo, aby zobaczyć ostateczny efekt::