Narysuj wykres funkcji $\color{Cyan} f(x) $

Przypomnijmy sobie jak wygląda funkcja $\color{Cyan} \cos(x)$:

W zadaniach tego typu najczęściej spotkasz się z przekształceniami podstawowych funkcji trygonometrycznych, które najlepiej wykonywać w mniej więcej takiej kolejności:
1. Zmiana okresu i amplitudy
2. Przesunięcie wykresu funkcji w pionie lub poziomie
3. Odbicia, odwrotności, symetrie itp.


Zanim przejdziemy do jakiegokolwiek rysowania, przekształćmy nieco wzór funkcji z polecenia: \begin{gather*}\color{Cyan} f(x) = -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{8x + \pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \end{gather*} Podejdziemy do rozwiązania w ten sposób, że zaczniemy od podstawowej funkcji $\color{Cyan} \cos(x)$ i kolejnymi przekształceniami doprowadzimy ją do postaci z treści zadania.

Zajmijmy się na początek mnożeniem całej funkcji przez $\color{Cyan} \frac{1}{2}$. Pominiemy na razie minusa znajdującego się przed tą stałą i wrócimy do niego później. Zaobserwuj co się dzieje podczas gdy mnożymy funkcję przez stałą:

Jak widzisz, zmienia się amplituda funkcji. Standardowo jest ona równa $1$, więc po pomnożeniu $\color{Cyan} \cos(x)$ przez $\color{Cyan} \frac{1}{2}$, otrzymujemy funkcję o amplitudzie równej $\color{Cyan} \frac{1}{2}$.
Nasza obecna funkcja: $\displaystyle \color{Cyan} \frac{1}{2}\cos(x)$

Teraz czas na okres. Zależy on od mnożnika przy zmiennej $x$ w funkcji $\color{Cyan} \cos(x)$. W funkcji z polecenia jest on równy $2$.
Na poniższej wizualizacji możesz zobaczyć, jak okres zmienia się w zależności od tego współczynnika. Przesuń suwak na wartość 2, aby zobacyć jak wygląda funkcja, na której nam zależy:

Standardowo okres funkcji $\color{Cyan} \cos(x)$ wynosi $\color{Cyan} 2\pi$. W naszym zadaniu zmienna $x$ jest mnożona przez $\color{Cyan} 2$. Można to traktować tak, jakbyśmy „przyspieszyli” szybkość zmiany argumentu $x$ dwukrotnie. W efekcie funkcja "szybciej" faluje a okres skraca się dwukrotnie: $\color{Cyan} \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Oznacza to, że dla wszystkich punktów na wykresie współrzędna $x$ zostanie podzielona przez 2.
Jeśli wciąż masz problem z obliczaniem okresu, zachęcam do przeanalizowania jednego z zadań poświęconych tej tematyce.
Nasza obecna funkcja: $\displaystyle \color{Cyan} \frac{1}{2}\cos(2x)$

Przejdźmy teraz do stałej $\color{Cyan} \frac{\pi}{4}$. Jest ona dodana wewnątrz funkcji $\color{Cyan} \cos(x)$, więc powoduje przesunięcie wykresu wzdłuż osi $X$. Dokładniej, każdy punkt przesuwa się o $\color{Cyan} \frac{\pi}{8}$ w lewo (czyli około $0{,}39$). Dlaczego akurat tyle?
Spójrzmy na wzór funkcji i trochę go przekształćmy: $$ \color{Cyan} \frac{1}{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle \color{Cyan} \frac{1}{2}\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\right)$$ Przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi $X$, to nic innego jak "podmiana" argumentu $\color{Cyan}x$ na $ \color{Cyan} x+a$. Możemy patrzeć na to w taki sposób, że przesuwamy całą oś $X$ o jakąś liczbę $ \color{Cyan}a$.
W naszym przykładzie będzie to przesunięcie o $\color{Cyan}\frac{\pi}{8}$ w lewo, gdyż do argumentu $ \color{Cyan}x$ dodajemy tę właśnie liczbę.
Przesuń suwak w prawo, aby zobaczyć jak będzie wyglądała nasza funkcja:

Nasza obecna funkcja: $\displaystyle \color{Cyan} \frac{1}{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$

Teraz wracamy do znaku minus, który wcześniej pominęliśmy. Nie wpływa on na amplitudę (bo amplituda jest długością, a ta nie może być ujemna), ale wpływa na wygląd wykresu. Dodanie tego minusa odpowiada odbiciu względem osi $X$: punkty na wykresie, które miały wartość dodatnią teraz będą mieć ujemną, a te, które miały ujemną będą mieć dodatnią. Przesuń suwak w prawo, aby zobaczyć tę zmianę i tym samym ostateczną odpowiedź: