Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-08-17 20:20:00
Wykonaj działanie mnożenia macierzy $\color{#ff6600} A$ i $\color{Cyan} B$
$$\color{#ff6600}
A = \begin{bmatrix}
{\frac{1}{2}} & {-1} & {5} \\
{0} & {1} & {0} \\
{\frac{3}{2}} & {1} & {2}
\end{bmatrix}, \qquad \color{Cyan}
B = \begin{bmatrix}
{1} & {-\frac{2}{3}}\\
{0} & {-2} \\
{2} & {0}
\end{bmatrix}
$$
Jeśli miałeś już do czynienia z mnożeniem macierzy przez wektor, to mnożenie dwóch macierzy wygląda bardzo podobnie. Jeśli nie, zachęcam do przanalizowania zadania na ten temat .
\begin{gather*} \color{#ff6600} \begin{bmatrix} {\frac{1}{2}} & {-1} & {5} \\ {0} & {1} & {0} \\ {\frac{3}{2}} & {1} & {2} \end{bmatrix} \color{Cyan} \begin{bmatrix} {1} & {-\frac{2}{3}}\\ {0} & {-2} \\ {2} & {0} \end{bmatrix} = \color{#6600ff} \begin{bmatrix} {{\color{#ff6600}\frac{1}{2}} \cdot {\color{Cyan}1} - {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}0} + {\color{#ff6600}5} \cdot {\color{Cyan}2}} & {{\color{#ff6600}\frac{1}{2}} \cdot {\color{Cyan}\left( -\frac{2}{3} \right)} - {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}(-2)} + {\color{#ff6600}5} \cdot {\color{Cyan}0}} \\ {{\color{#ff6600}0} \cdot {\color{Cyan}1} + {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}0} + {\color{#ff6600}0} \cdot {\color{Cyan}2}} & {{\color{#ff6600}0} \cdot {\color{Cyan}\left( -\frac{2}{3} \right)} + {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}(-2)} + {\color{#ff6600}0} \cdot {\color{Cyan}0}} \\ {{\color{#ff6600}\frac{2}{3}} \cdot {\color{Cyan}1} + {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}0} + {\color{#ff6600}2} \cdot {\color{Cyan}2}} & {{\color{#ff6600}\frac{3}{2}} \cdot {\color{Cyan}\left( -\frac{2}{3} \right)} + {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}(-2)} + {\color{#ff6600}2} \cdot {\color{Cyan}0}} \end{bmatrix} = \\\\ \color{#6600ff} = \begin{bmatrix} {\frac{21}{2}} & {\frac{5}{3}} \\ {0} & {-2} \\ {\frac{11}{2}} & {-3} \end{bmatrix} \end{gather*} Operację tę można interpretować jako złożenie odwzorowań liniowych zdefiniowanych przez te dwie macierze.
Odwzorowanie zdefiniowane macierzą $\color{#ff6600} A$: $$\color{#ff6600} F: \quad \mathbb{R} ^3 \longmapsto \mathbb{R} ^3 $$ Odwzorowanie zdefiniowane macierzą $\color{Cyan} B$: $$\color{Cyan} G: \quad \mathbb{R} ^2 \longmapsto \mathbb{R} ^3 $$ Złożenie odwzorowań - zdefiniowane macierzą $\color{#6600ff}AB$: $$\color{#6600ff} G\circ F: \quad \mathbb{R} ^2 \longmapsto \mathbb{R} ^3 $$
\begin{gather*} \color{#ff6600} \begin{bmatrix} {\frac{1}{2}} & {-1} & {5} \\ {0} & {1} & {0} \\ {\frac{3}{2}} & {1} & {2} \end{bmatrix} \color{Cyan} \begin{bmatrix} {1} & {-\frac{2}{3}}\\ {0} & {-2} \\ {2} & {0} \end{bmatrix} = \color{#6600ff} \begin{bmatrix} {{\color{#ff6600}\frac{1}{2}} \cdot {\color{Cyan}1} - {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}0} + {\color{#ff6600}5} \cdot {\color{Cyan}2}} & {{\color{#ff6600}\frac{1}{2}} \cdot {\color{Cyan}\left( -\frac{2}{3} \right)} - {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}(-2)} + {\color{#ff6600}5} \cdot {\color{Cyan}0}} \\ {{\color{#ff6600}0} \cdot {\color{Cyan}1} + {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}0} + {\color{#ff6600}0} \cdot {\color{Cyan}2}} & {{\color{#ff6600}0} \cdot {\color{Cyan}\left( -\frac{2}{3} \right)} + {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}(-2)} + {\color{#ff6600}0} \cdot {\color{Cyan}0}} \\ {{\color{#ff6600}\frac{2}{3}} \cdot {\color{Cyan}1} + {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}0} + {\color{#ff6600}2} \cdot {\color{Cyan}2}} & {{\color{#ff6600}\frac{3}{2}} \cdot {\color{Cyan}\left( -\frac{2}{3} \right)} + {\color{#ff6600}1} \cdot {\color{Cyan}(-2)} + {\color{#ff6600}2} \cdot {\color{Cyan}0}} \end{bmatrix} = \\\\ \color{#6600ff} = \begin{bmatrix} {\frac{21}{2}} & {\frac{5}{3}} \\ {0} & {-2} \\ {\frac{11}{2}} & {-3} \end{bmatrix} \end{gather*} Operację tę można interpretować jako złożenie odwzorowań liniowych zdefiniowanych przez te dwie macierze.
Odwzorowanie zdefiniowane macierzą $\color{#ff6600} A$: $$\color{#ff6600} F: \quad \mathbb{R} ^3 \longmapsto \mathbb{R} ^3 $$ Odwzorowanie zdefiniowane macierzą $\color{Cyan} B$: $$\color{Cyan} G: \quad \mathbb{R} ^2 \longmapsto \mathbb{R} ^3 $$ Złożenie odwzorowań - zdefiniowane macierzą $\color{#6600ff}AB$: $$\color{#6600ff} G\circ F: \quad \mathbb{R} ^2 \longmapsto \mathbb{R} ^3 $$
$\displaystyle \color{#00dd66}
\begin{bmatrix}
{\frac{21}{2}} & {\frac{5}{3}} \\
{0} & {-2} \\
{\frac{11}{2}} & {-3}
\end{bmatrix}$