Oblicz całkę nieoznaczoną

Rozwiążemy tę całkę, dokonując drobnych przekształceń i rozbijając ją na dwie osobne całki.
Skorzystamy także ze wzoru: \begin{gather*} \color{#ff6600} \int e^x \,\mathrm{d}x = e^x + C \end{gather*} Oraz całkowania przez podstawianie.

Rozbijamy wyrażenie podcałkowe na osobne ułamki i rozwiązujemy: \begin{gather*} \color{Cyan} \int{\frac{2e^{2x}-e^{-x}}{e^x}}\mathrm{d}x = \int \left( \frac{2e^{2x}}{e^x} - \frac{e^{-x}}{e^x} \right)\mathrm{d}x = \\\\\color{Cyan} = 2\int e^x\mathrm{d}x - \color{#5500ff} \int e^{-2x} \mathrm{d}x \color{Cyan} = 2e^x - \color{#5500ff} \int e^{-2x} \mathrm{d}x \end{gather*} Całkę, która nam pozostała obliczymy używając podstawiania: \begin{gather*}\color{#5500ff} \int e^{-2x} \mathrm{d}x = \begin{vmatrix} {-2x = t} & {\quad \color{#999}\textit{podstawiamy}} \\ {-2\mathrm{d}x = \mathrm{d}t} & {\quad \color{#999}\textit{liczymy pochodną obustronnie}} \\ {dx=-\frac{1}{2}\mathrm{d}t} & {\quad \color{#999}\textit{obliczamy dx}} \end{vmatrix} = \\\\\color{#5500ff} = -\frac{1}{2}\int e^t \mathrm{d}t = -\frac{e^t}{2} + C = -\frac{e^{-2x}}{2} + C = -\frac{1}{2 e^{2x}} + C \end{gather*} Jeśli nie wiesz czym jest całkowanie przez podstawianie lub chciałbyś się dowiedzieć z czego ta metoda wynika, zachęcam do zapoznania się z zadaniem na ten temat.
Ostateczny wynik wygląda więc tak: \begin{gather*} \color{#00dd66} 2e^x + \frac{1}{2 e^{2x}} + C \end{gather*}