Oblicz całkę nieoznaczoną

Podzielę rozwiązanie na dwie części: w pierwszej obliczymy całkę korzystając z całkowanaia przez podstawianie, a w drugiej wyjaśnie skąd się wzięła ta metoda i dlaczego działa.

Rozwiązanie Widzimy, że pod sinusem znajduje się $x$ w drugiej potędze, a przed nim w pierwszej. Dzięki temu możemy użyć podstawiania: \begin{gather*} \color{Cyan} \int x\sin\left( 3x^2 \right)dx = \begin{vmatrix} {3x^2 = t} & {\quad \color{#999}\substack{\textit{podstawiamy}}} \\ {6x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}t} & {\quad \color{#999}\substack{\textit{liczymy pochodną obustronnie}}} \\ { x\,\mathrm{d}x =\frac{1}{6}\mathrm{d}t} & {\quad \color{#999}\substack{\textit{obliczamy wyrażenie,}\\ \textit{znajdujące się pod całką}}} \end{vmatrix}=\\\\\color{Cyan} =\int \sin(t) \cdot \frac{1}{6}\mathrm{d}x = \frac{1}{6}\int \sin(t) \, \mathrm{d}x = \\\\\color{Cyan} = -\frac{1}{6}\cos(t) + C = \color{#00dd66} -\frac{1}{6}\cos(3x^2) + C \end{gather*} Wyjaśnienie Przypomnijmy sobie wzór na pochodną funkcji złożonej: \begin{gather*}\color{#ff6600} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{gather*} Jak wiemy, całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania.
Całkowanie przez podstawianie to nic innego jak wykorzystanie tego wzoru, ale "w drugą stronę".
Sposób ten polega na przedstawieniu funkcji podcałkowej, która nierzadko wygląda dość chaotycznie, w postaci $\color{#ff6600}f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Robimy to, wprowadzając dodatkową zmienną $\color{#ff6600} t=g(x)$. Ma ona na celu uproszczenie całego zapisu. Następnie wykonujemy następujące operacje: \begin{gather*}\color{#ff6600} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} [t] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} [g(x)] \\\\\color{#ff6600} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d} x} = g'(x) \\\\\color{#ff6600} \mathrm{d}t = g'(x)\mathrm{d}x \end{gather*} Ostatnią operację możemy traktować jako "mnożenie" przez $\color{#ff6600}\mathrm{d}x$. Mimo że $\color{#ff6600}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ formalnie nie jest ułamkiem, możemy czasami go w taki sposób traktować. Ułatwia to zapamiętanie koncepcji całki i dokonywanie obliczeń. Jeśli notacja $\color{#ff6600}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}$ nie jest ci jeszcze dobrze znana lub nie wiesz z czego wynika, zachęcam do przeanalizowania zadania dotyczącego definicji pochodnej