Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-09-21 22:16:00
Rozwiąż układ równań
\begin{gather*}
{\color{Cyan}
\begin{cases}
{1\frac{1}{2} x - \frac{y+2}{3}} = {-1\frac{3}{4}} \\
{\frac{x}{3} + 5y} = {4\frac{5}{6}}
\end{cases}
}
\end{gather*}
Aby rozwiązać ten układ równań, skorzystamy z metody zwanej podstawianiem. Za pomocą jednego z równań wyznaczymy wybraną zmienną, a następnie podstawimy ją do drugiego równania.
W tym przykładzie wyznaczymy $ y $ przy pomocy pierwszego równania: \begin{gather*} \color{Cyan} {1\frac{1}{2} x - \frac{y+2} 3} = {-1\frac{3}{4}} \;\;\;\;\; \color{#999999}/\cdot 3 \\\\\color{Cyan} {4\frac{1}{2}x - (y+2) = -5\frac{1}{4}} \\\\\color{Cyan} {4\frac{1}{2}x - y - 2 = -5\frac{1}{4}} \\\\\color{Cyan} {-y = -3\frac{1}{4} - 4\frac{1}{2}x} \;\;\;\;\; \color{#999999} /\cdot (-1) \\\\\color{#ff6600} {y = 3\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2}x} \end{gather*} Teraz podstawiamy pod $y$ w drugim równaniu to, czemu jest on równy: $$\color{Cyan} {\frac{x}{3} + 5{\color{#ff6600} \left (3\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2}x \right)} = 4\frac{5}{6}} $$ Dzięki temu uzyskaliśmy równanie z jedną niewiadomą: $x$. Wystarczy je rozwiązać: \begin{gather*}\color{Cyan} {\frac{x}{3} + 16\frac{1}{4} + 22\frac{1}{2}x = 4\frac{5}{6}} \;\;\;\;\; \color{#999999}/\cdot 6 \\\\\color{Cyan} {2x + 135x = 29 - 97\frac{1}{2}} \\\\ \color{Cyan} {137x = -68\frac{1}{2}} \\\\\color{#00dd66} x = - \frac{1}{2} \end{gather*} Super, wyznaczyliśmy dokładną wartość zmiennej $x$. Teraz, możemy podać również dokładną wartość $y$, korzystając z tego, co ustaliliśmy wcześniej. Pamiętasz czemu równa była ta zmienna? \begin{gather*}\color{#ff6600} {y = 3\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2}x} \end{gather*} Wiedząc teraz ile $x$ jest równy, obliczamy $y$: \begin{gather*} \color{Cyan} y = 3\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2} \color{#00dd66}\left(- \frac{1}{2}\right) \\\\\color{Cyan} y = 3\frac{1}{4} - 2\frac{1}{4} \\\\\color{#00dd66} y = 1 \end{gather*} Tak więc rozwiązaniem tegu układu równań jest para liczb: $$\color{#00dd66} x = - \frac{1}{2} \mathrm{\;\;\;\;\;\; i \;\;\;\;\;\;} y = 1 $$
Jeśli interpretować nasze równania jako funkcje, całość można przedstawić graficznie. W naszym przypadku są to funkcje liniowe - można narysować je w układzie współrzędnych jako dwie proste. Nie będziemy się jednak w tym momencie zajmować tym, jak to robić, a zamiast tego po prostu pokażę jak one wyglądają:
W tym przykładzie wyznaczymy $ y $ przy pomocy pierwszego równania: \begin{gather*} \color{Cyan} {1\frac{1}{2} x - \frac{y+2} 3} = {-1\frac{3}{4}} \;\;\;\;\; \color{#999999}/\cdot 3 \\\\\color{Cyan} {4\frac{1}{2}x - (y+2) = -5\frac{1}{4}} \\\\\color{Cyan} {4\frac{1}{2}x - y - 2 = -5\frac{1}{4}} \\\\\color{Cyan} {-y = -3\frac{1}{4} - 4\frac{1}{2}x} \;\;\;\;\; \color{#999999} /\cdot (-1) \\\\\color{#ff6600} {y = 3\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2}x} \end{gather*} Teraz podstawiamy pod $y$ w drugim równaniu to, czemu jest on równy: $$\color{Cyan} {\frac{x}{3} + 5{\color{#ff6600} \left (3\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2}x \right)} = 4\frac{5}{6}} $$ Dzięki temu uzyskaliśmy równanie z jedną niewiadomą: $x$. Wystarczy je rozwiązać: \begin{gather*}\color{Cyan} {\frac{x}{3} + 16\frac{1}{4} + 22\frac{1}{2}x = 4\frac{5}{6}} \;\;\;\;\; \color{#999999}/\cdot 6 \\\\\color{Cyan} {2x + 135x = 29 - 97\frac{1}{2}} \\\\ \color{Cyan} {137x = -68\frac{1}{2}} \\\\\color{#00dd66} x = - \frac{1}{2} \end{gather*} Super, wyznaczyliśmy dokładną wartość zmiennej $x$. Teraz, możemy podać również dokładną wartość $y$, korzystając z tego, co ustaliliśmy wcześniej. Pamiętasz czemu równa była ta zmienna? \begin{gather*}\color{#ff6600} {y = 3\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2}x} \end{gather*} Wiedząc teraz ile $x$ jest równy, obliczamy $y$: \begin{gather*} \color{Cyan} y = 3\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2} \color{#00dd66}\left(- \frac{1}{2}\right) \\\\\color{Cyan} y = 3\frac{1}{4} - 2\frac{1}{4} \\\\\color{#00dd66} y = 1 \end{gather*} Tak więc rozwiązaniem tegu układu równań jest para liczb: $$\color{#00dd66} x = - \frac{1}{2} \mathrm{\;\;\;\;\;\; i \;\;\;\;\;\;} y = 1 $$
Jeśli interpretować nasze równania jako funkcje, całość można przedstawić graficznie. W naszym przypadku są to funkcje liniowe - można narysować je w układzie współrzędnych jako dwie proste. Nie będziemy się jednak w tym momencie zajmować tym, jak to robić, a zamiast tego po prostu pokażę jak one wyglądają:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Zwróćmy uwagę na punkt przecięcia się tych prostych. Jego współrzędne to nic innego jak rozwiązanie naszego układu równań: $\color{Cyan}(x, y) = \left( -\frac{1}{2}, 1 \right)$.
$\displaystyle
{\color{#00dd66}
{x = - \frac{1}{2} \mathrm{\;\;\;\;\;\; i \;\;\;\;\;\;} y = 1}
}
$