Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-09-19 15:15:00
Rozwiąż układ równań
\begin{gather*}\color{Cyan}
\begin{cases}
{1\frac{1}{4}x - \frac{1}{2}y} = {3\frac{2}{3}} \\ \\
{2\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}y} = {11}
\end{cases}
\end{gather*}
Aby rozwiązać ten układ równań, skorzystamy z metody zwanej podstawianiem. Za pomocą jednego z równań wyznaczymy wybraną zmienną, a następnie podstawimy ją do drugiego równania.
W tym przykładzie wyznaczymy $ y $ przy pomocy pierwszego równania: \begin{gather*} \color{Cyan} 1\frac{1}{4}x - \frac{1}{2}y = 3\frac{2}{3} \;\;\;\;\;\;\; \color{#999999}/ \cdot (-2) \\\\\color{Cyan} y - 2\frac{1}{2}x = - 7\frac{1}{3}\\\\ \color{#ff6600} y = - 7\frac{1}{3} + 2\frac{1}{2}x \end{gather*} Teraz podstawiamy pod $y$ w drugim równaniu to, czemu jest on równy: \begin{gather*}\color{Cyan} 2\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}{\color{#ff6600}\left(- 7\frac{1}{3} + 2\frac{1}{2}x\right)} = 11 \;\;\;\;\;\;\; \color{#999999} /\cdot \frac{8}{3} \\\\ \color{Cyan} \frac{40}{6}x - 7\frac{1}{3} + 2\frac{1}{2}x = \frac{88}{3} \\\\ \color{Cyan} \frac{40}{6}x - \frac{44}{6} + \frac{15}{6}x = \frac{176}{6} \;\;\;\;\;\;\; \color{#999999}/\cdot 6 \\\\\color{Cyan} 40x - 44 + 15x = 176 \\\\\color{Cyan} 55x = 220 \;\;\;\;\;\;\; \color{#999999}/:55 \\\\ \color{#00dd66} x = 4 \end{gather*} Super, wyznaczyliśmy dokładną wartość zmiennej $x$. Teraz, możemy podać również dokładną wartość $y$, korzystając z tego, co ustaliliśmy wcześniej. Pamiętasz czemu równa była ta zmienna? \begin{gather*}\color{#ff6600} y = - 7\frac{1}{3} + 2\frac{1}{2}x \end{gather*} Wiedząc teraz ile $x$ jest równy, obliczamy $y$: \begin{gather*}\color{Cyan} y = - 7\frac{1}{3} + 2\frac{1}{2}\cdot \color{#00dd66} 4 \\\\\color{Cyan} y = - 7\frac{1}{3} + 10 \\\\\color{Cyan} y = \frac{30}{3} - \frac{22}{3} \\\\\color{#00dd66} y = \frac{8}{3} \end{gather*}
Jeśli interpretować nasze równania jako funkcje, całość można przedstawić graficznie. W naszym przypadku są to funkcje liniowe - można narysować je w układzie współrzędnych jako dwie proste. Nie będziemy się jednak w tym momencie zajmować tym, jak to robić, a zamiast tego po prostu pokażę jak one wyglądają:
W tym przykładzie wyznaczymy $ y $ przy pomocy pierwszego równania: \begin{gather*} \color{Cyan} 1\frac{1}{4}x - \frac{1}{2}y = 3\frac{2}{3} \;\;\;\;\;\;\; \color{#999999}/ \cdot (-2) \\\\\color{Cyan} y - 2\frac{1}{2}x = - 7\frac{1}{3}\\\\ \color{#ff6600} y = - 7\frac{1}{3} + 2\frac{1}{2}x \end{gather*} Teraz podstawiamy pod $y$ w drugim równaniu to, czemu jest on równy: \begin{gather*}\color{Cyan} 2\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}{\color{#ff6600}\left(- 7\frac{1}{3} + 2\frac{1}{2}x\right)} = 11 \;\;\;\;\;\;\; \color{#999999} /\cdot \frac{8}{3} \\\\ \color{Cyan} \frac{40}{6}x - 7\frac{1}{3} + 2\frac{1}{2}x = \frac{88}{3} \\\\ \color{Cyan} \frac{40}{6}x - \frac{44}{6} + \frac{15}{6}x = \frac{176}{6} \;\;\;\;\;\;\; \color{#999999}/\cdot 6 \\\\\color{Cyan} 40x - 44 + 15x = 176 \\\\\color{Cyan} 55x = 220 \;\;\;\;\;\;\; \color{#999999}/:55 \\\\ \color{#00dd66} x = 4 \end{gather*} Super, wyznaczyliśmy dokładną wartość zmiennej $x$. Teraz, możemy podać również dokładną wartość $y$, korzystając z tego, co ustaliliśmy wcześniej. Pamiętasz czemu równa była ta zmienna? \begin{gather*}\color{#ff6600} y = - 7\frac{1}{3} + 2\frac{1}{2}x \end{gather*} Wiedząc teraz ile $x$ jest równy, obliczamy $y$: \begin{gather*}\color{Cyan} y = - 7\frac{1}{3} + 2\frac{1}{2}\cdot \color{#00dd66} 4 \\\\\color{Cyan} y = - 7\frac{1}{3} + 10 \\\\\color{Cyan} y = \frac{30}{3} - \frac{22}{3} \\\\\color{#00dd66} y = \frac{8}{3} \end{gather*}
Jeśli interpretować nasze równania jako funkcje, całość można przedstawić graficznie. W naszym przypadku są to funkcje liniowe - można narysować je w układzie współrzędnych jako dwie proste. Nie będziemy się jednak w tym momencie zajmować tym, jak to robić, a zamiast tego po prostu pokażę jak one wyglądają:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Zwróćmy uwagę na punkt przecięcia się tych prostych. Jego współrzędne to nic innego jak rozwiązanie naszego układu równań: $\color{Cyan}(x, y) = \left( 4, \frac{8}{3} \right)$.
$\displaystyle {\color{#00dd66} x = 4} $ oraz $\displaystyle {\color{#00dd66}y = \frac{8}{3}} $