Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-09-02 19:51:00
Stężenie alkoholu we krwi (w jednostkach umownych) po spożyciu dawki etanolu opisuje funkcja:
$$\color{Cyan}
C(t)=-125\left(e^{-t}-e^{-0{,}2t}\right)
$$
gdzie $\color{Cyan} t$ oznacza czas w godzinach (liczony od momentu zarzycia).
Wyznacz ten moment $\color{Cyan} t$, w którym redukcja stężenia alkoholu we krwi jest najszybsza.
Na początek przyjrzyjmy się wykresowi funkcji $\color{Cyan} C(t)$:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Widzimy, że po około dwóch godzinach osiągane jest największe stężenie alkoholu we krwi, a następnie rozpoczyna się proces eliminacji. To właśnie on będzie nas interesował.
Zastanówmy się, co dokładnie oznacza „najszybsza redukcja stężenia”. Jest to moment, w którym nachylenie funkcji $\color{Cyan} C(t)$ jest największe (oczywiście w części wykresu odpowiadającej eliminacji). Innymi słowy: tam, gdzie funkcja jest najbardziej stroma, jej wartości zmieniają się najszybciej, a więc spadek stężenia jest największy.
Aby znaleźć interesujący nas argument, musimy obliczyć drugą pochodną funkcji. Dlaczego? Jeśli miałeś/aś już styczność z rachunkiem różniczkowym, to wiesz, że pierwsza pochodna informuje o szybkości zmian funkcji pierwotnej. Szukamy więc miejsca, w którym pochodna osiąga minimum lokalne, bo właśnie tam funkcja pierwotna maleje najszybciej. Do wyznaczenia tego punktu niezbędna jest druga pochodna.
Zacznijmy więc: \begin{gather*}\color{Cyan} C'(t) = -125\left(-e^{-t}+0{,}2e^{-0{,}2t}\right) \end{gather*} Musimy znaleźć minimum tej funkcji, więc liczymy drugą pochodną: \begin{gather*}\color{Cyan} C''(t) = -125\left(e^{-t}-0{,}04e^{-0{,}2t}\right) \end{gather*} Szukamy ekstremów lokalnych, zatem przyrównujemy drugą pochodną do zera: \begin{gather*}\color{Cyan} -125\left(e^{-t}-0{,}04e^{-0{,}2t}\right) = 0 \\\\\color{Cyan} -125e^{-t}+5e^{-0{,}2t}=0 \\\\\color{Cyan} -25e^{-t}+e^{-0{,}2t}=0 \\\\\color{Cyan} e^{-0{,}2t} = 25e^{-t} \\\\ \textrm{Pomnóżmy obustronnie przez } {\color{Cyan}e^{t}}: \\\\\color{Cyan} e^{0{,}8t} = 25\\\\ \textrm{Weźmy logarytm naturalny obustronnie:}\\\\\color{Cyan} \ln\left( e^{0{,}8t} \right) = \ln(25)\\\\\color{Cyan} 0{,}8t = \ln(25) \\\\\color{Cyan} t = \frac{\ln(25)}{0{,}8} = \frac{\ln\left(5^2\right)}{0{,}8} = \frac{2\ln(5)}{0{,}8} = \color{#00dd66}\frac{5}{2}\ln(5) \end{gather*} Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, więc mamy pewność, że jest to minimum.
Na koniec spójrzmy na wykres funkcji $\color{Cyan} C(t)$ oraz $\color{#ff6600} C'(t)$. Zielony punkt jest miejscem, gdzie funkcja $\color{Cyan} C(t)$ maleje najszybciej. Czerwony punkt jest zaś minimum lokalnym pochodnej:
Zastanówmy się, co dokładnie oznacza „najszybsza redukcja stężenia”. Jest to moment, w którym nachylenie funkcji $\color{Cyan} C(t)$ jest największe (oczywiście w części wykresu odpowiadającej eliminacji). Innymi słowy: tam, gdzie funkcja jest najbardziej stroma, jej wartości zmieniają się najszybciej, a więc spadek stężenia jest największy.
Aby znaleźć interesujący nas argument, musimy obliczyć drugą pochodną funkcji. Dlaczego? Jeśli miałeś/aś już styczność z rachunkiem różniczkowym, to wiesz, że pierwsza pochodna informuje o szybkości zmian funkcji pierwotnej. Szukamy więc miejsca, w którym pochodna osiąga minimum lokalne, bo właśnie tam funkcja pierwotna maleje najszybciej. Do wyznaczenia tego punktu niezbędna jest druga pochodna.
Zacznijmy więc: \begin{gather*}\color{Cyan} C'(t) = -125\left(-e^{-t}+0{,}2e^{-0{,}2t}\right) \end{gather*} Musimy znaleźć minimum tej funkcji, więc liczymy drugą pochodną: \begin{gather*}\color{Cyan} C''(t) = -125\left(e^{-t}-0{,}04e^{-0{,}2t}\right) \end{gather*} Szukamy ekstremów lokalnych, zatem przyrównujemy drugą pochodną do zera: \begin{gather*}\color{Cyan} -125\left(e^{-t}-0{,}04e^{-0{,}2t}\right) = 0 \\\\\color{Cyan} -125e^{-t}+5e^{-0{,}2t}=0 \\\\\color{Cyan} -25e^{-t}+e^{-0{,}2t}=0 \\\\\color{Cyan} e^{-0{,}2t} = 25e^{-t} \\\\ \textrm{Pomnóżmy obustronnie przez } {\color{Cyan}e^{t}}: \\\\\color{Cyan} e^{0{,}8t} = 25\\\\ \textrm{Weźmy logarytm naturalny obustronnie:}\\\\\color{Cyan} \ln\left( e^{0{,}8t} \right) = \ln(25)\\\\\color{Cyan} 0{,}8t = \ln(25) \\\\\color{Cyan} t = \frac{\ln(25)}{0{,}8} = \frac{\ln\left(5^2\right)}{0{,}8} = \frac{2\ln(5)}{0{,}8} = \color{#00dd66}\frac{5}{2}\ln(5) \end{gather*} Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, więc mamy pewność, że jest to minimum.
Na koniec spójrzmy na wykres funkcji $\color{Cyan} C(t)$ oraz $\color{#ff6600} C'(t)$. Zielony punkt jest miejscem, gdzie funkcja $\color{Cyan} C(t)$ maleje najszybciej. Czerwony punkt jest zaś minimum lokalnym pochodnej:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Alkohol najszybciej redukowany jest z krwi w chwili $\displaystyle \color{#00dd66} t = \frac{5}{2}\ln(5)$, czyli około 4 godziny po spożyciu.