Oblicz pochodną funkcji $ \color{Cyan} f(x) $ z definicji

Podzielę to rozwiązanie na dwie części: w pierwszej obliczymy pochodną podanej funkcji, a w drugiej postaram się wyjaśnić od podstaw czym jest pochodna i po co w ogóle ją liczyć.

Rozwiązanie Spójrzmy na definicję: \begin{gather*}\color{#ff6600} \lim_{{h} \to {0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{gather*} Teraz wystarczy podstawić pod $\color{#ff6600} f(x)$ wzór naszej funkcji, a pod $\color{#ff6600} f(x+h)$ ten sam wzór, ale wszędzie tam, gdzie występuje zmienna $x$ należy ją podmienić na $x+h$: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{h} \to {0}} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} \end{gather*} Rozwiązujemy: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{h} \to {0}} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{{h} \to {0}} \frac{{\color{Red}x^2}+2xh+h^2-{\color{Red}x^2}}{h} = \lim_{{h} \to {0}} \frac{2xh+h^2}{h} = \\\\\color{Cyan} = \lim_{{h} \to {0}} \frac{{\color{Red}h}(2x+h)}{\color{Red}h} = \lim_{{h} \to {0}} (2x+h) = \color{#00dd66} 2x \end{gather*}
Wyjaśnienie Jest to jedno z trudniejszych zagadnień pod względem intuicji, omawianych w szkole średniej. Spróbujmy jednak podejść do niego w sposób możliwie obrazowy i przystępny dla każdego, kto miał już styczność z granicami funkcji.

Dział zajmujący się badaniem funkcji i ich własności nazywamy analizą matematyczną. Zastanówmy się, co już umiemy w tym zakresie. Wiemy już, jak wyznaczać miejsca zerowe prostych funkcji, znajdować ich asymptoty, określać dziedzinę oraz zbiór wartości.
Nadal jednak trudno byłoby nam opisać cały przebieg funkcji — gdzie rośnie, gdzie maleje i jak mocno jest nachylona.
Spróbujmy zatem wymyślić sposób „mierzenia” nachylenia funkcji w wybranym punkcie.

Zacznijmy od najprostszego przypadku. Przyjrzyj się poniższemu wykresowi funkcji i zastanów się, jak moglibyśmy wyznaczyć współczynnik nachylenia:

Nachylenie to nic innego jak „szybkość” zmiany wartości tej funkcji. Wobec tego wystarczy podzielić różnicę na osi $Y$ przez różnicę na osi $X$. Zobaczmy, jak wygląda to graficznie:

Z punktu $\color{#ff6600} A$ idziemy po wykresie funkcji o 4 jednostki w prawo (nazwałem tę odległość $\color{#0000cc}\Delta x$). Wówczas, na osi pionowej poruszamy się o 2 jednostki do góry (czyli o $\color{#cc00ff}\Delta y$).
Możemy więc krótko powiedzieć, że na każde 4 jednostki w poziomie, poruszamy się o dwie jednostki w pionie. Prościej możemy to opisać za pomocą jednej liczby: stosunku różnicy w poziomie do różnicy w pionie. W naszym przypadku będzie to: $\displaystyle \frac{\color{#cc00ff}2}{\color{#0000cc}4} = \frac{\color{#cc00ff}1}{\color{#0000cc}2}$.
W wersji bardziej ogólnej możemy jednak zapisać: $\displaystyle \frac{\color{#cc00ff}\Delta y}{\color{#0000cc}\Delta x} $.
Spójrz jeszcze raz na powyższy wykres i upewnij się, że rozumiesz, iż wartość $\frac{\color{#cc00ff}\Delta y}{\color{#0000cc}\Delta x}$ opisuje nachylenie funkcji liniowej.


Teraz weźmy na tapet taką funkcję:

Cóż, nie trzeba kończyć trzyletniego seminarium doktoranckiego z analizy funkcjonalnej, żeby zauważyć, że nachylenie tej funkcji nie jest stałe — zmienia się wraz z $x$. Spróbujemy więc określić nachylenie tylko w jednym, wybranym przez nas punkcie. Posłużymy się w tym celu podobną logiką jak w poprzednim przykładzie:

Chcielibyśmy zbadać nachylenie w punkcie $A$. W tym celu dodałem drugi punkt oraz znane nam już oznaczenia. Pomarańczowa prosta obrazuje nachylenie funkcji w punkcie $A$. A przynajmniej... stara się to robić. Już na pierwszy rzut oka widać, że ta prosta zupełnie nie zgadza się z faktycznym nachyleniem w interesującym nas miejscu. Nie ma się co dziwić — narysowałem ją w oparciu o punkt $B$, który znajduje się dużo dalej.
Spójrzmy jednak, co się stanie, jeśli nieznacznie zmniejszymy $\color{#0000cc}\Delta x$:

Nadal nie jest idealnie, ale to już całkiem sensowne przybliżenie! Wystarczy teraz podzielić $\color{#cc00ff}\Delta y$ przez $\color{#0000cc}\Delta x$, a otrzymamy współczynnik tego nachylenia.
Możemy wysnuć wniosek, że im mniejsze $\color{#0000cc}\Delta x$ (czyli odległość między punktami na osi $X$), tym lepsze przybliżenie. Spróbujmy więc wyobrazić sobie, że bierzemy nieskończenie małe $\color{#0000cc}\Delta x$. Wówczas nasze „przybliżenie” staje się nieskończenie dokładne, a więc otrzymujemy dokładny wynik.

Spójrz na poniższą wizualizację. Poruszając suwakiem, możesz zmniejszyć różnicę na osi $X$ (to, co dotychczas oznaczaliśmy jako $\color{#0000cc}\Delta x$). Użyłem tutaj już nieco innych oznaczeń — takich, które pozwolą nam wykonywać obliczenia:

Wybieramy sobie zatem jakiś argument $\color{#ff6600}x_0$, dla którego chcemy zbadać nachylenie, rysujemy punkt $\color{#ff6600}(x_0, f(x_0))$, a następnie przesuwamy się o jakąś odległość $\color{#0000cc}h$ na osi $X$ i rysujemy kolejny punkt $\color{#ff6600}(x_0+h, f(x_0+h))$. Mając dwa punkty, możemy obliczyć nachylenie tak samo, jak w pierwszym przykładzie z funkcją liniową. Jak widzisz, podczas gdy zmniejszamy $\color{#0000cc}h$, otrzymujemy coraz dokładniejszy wynik (widzimy to patrząc na pomarańczową prostą, która coraz lepiej odzwierciedla nachylenie w punkcie).

Możemy już zapisać wzór na nachylenie: $$ \frac{\color{#cc00ff}f(x+h)-f(x)}{\color{#0000cc}h} $$ Jak już ustaliliśmy, wartość $\color{#0000cc}h$ (czyli nasze umowne $\color{#0000cc}\Delta x$) powinna być nieskończenie mała. Jest to nic innego jak granica $\lim_{{h} \to {0}}$: $$ \lim_{{h} \to {0}}\frac{\color{#cc00ff}f(x+h)-f(x)}{\color{#0000cc}h} $$ Wygląda znajomo, prawda? Otrzymaliśmy definicję pochodnej! Notacja Leibniza Oprócz takiego zapisu na pochodną funkcji: $\color{Cyan} f'(x)$,
jest jeszcze inny zapis: $\displaystyle \color{Cyan} \frac{\color{#cc00ff}\mathrm{d} y}{\color{#0000cc}\mathrm{d} x}$.
To nie jest ułamek, choć ma go symbolizować. $\color{Cyan} \color{#cc00ff}\mathrm{d} y$ oraz $\color{Cyan} \color{#0000cc}\mathrm{d} x$ to nieskończenie małe różnice w wartościach i argumentach. To jest dokładnie to samo, co $\displaystyle \frac{\color{#cc00ff}\Delta y}{\color{#0000cc}\Delta x} $, z tą różnicą, że tutaj zakładamy z góry, że obie te wartości są nieskończenie małe. Myślę, że dostrzegasz już sens kryjący się za takim zapisem. Jest prosty a zarazem doskonale opisuje to, czym jest pochodna.
Spójrzmy na to w ten sposób: \begin{gather*} \quad \;\; \color{#cc00ff}\mathrm{d} y \\ \lim_{{h} \to {0}}\frac{\color{#cc00ff}\overbrace{f(x+h)-f(x)}}{\color{#0000cc}\underbrace{\;\;h\;\;}}\\ \quad \;\; \color{#0000cc}\mathrm{d} x \end{gather*} A jak ten zapis stosować? W taki sposób: \begin{gather*} \color{Cyan} \frac{\color{#cc00ff}\mathrm{d} y}{\color{#0000cc}\mathrm{d} x} \left( x^2 \right) = 2x \end{gather*} Choć częściej pisze się: \begin{gather*} \color{Cyan} \frac{\color{#cc00ff}\mathrm{d}}{\color{#0000cc}\mathrm{d} x} \left( x^2 \right) = 2x\\\\ \textrm{lub} \\\\\color{Cyan} \frac{\color{#cc00ff}\mathrm{d}\left( x^2 \right)}{\color{#0000cc}\mathrm{d} x} = 2x \end{gather*}