Rozwiąż równanie trygonometryczne

Przypomnijmy sobie jak wygląda funkcja $\color{Cyan} \sin(x)$:

Widzimy, że funkcja $\color{Cyan} \sin(x)$ jest nieparzysta. Innymi słowy zachodzi równość: $$\color{Cyan} \sin(-x) = -\sin(x) $$ Czyli po lewej stronie osi $Y$, $\color{Cyan} \sin(x)$ przyjmuje te same wartości, co po prawej, ale ze zmienionym znakiem.

Możemy więc skorzystać z tabelki wartości funkcji trygonometrycznych: \begin{gather*}\color{Cyan} \sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\color{Cyan} x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z} \\\\ \textrm{a zatem:} \\\\\color{Cyan} \sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\color{#00dd66} x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z} \\\\ \end{gather*} Zauważ, że napisałem $\color{Cyan} + 2\pi k$. To dlatego, że funkcja $\color{Cyan} \sin(x)$ jest okresowa a jej okres jest równy $\color{Cyan} 2\pi$. Oznacza to dokładnie tyle, że po dodaniu $\color{Cyan} 2\pi$, nasza funkcja osiąga tę samą wartość.

Rozwiązanie, które zaznaczyłem powyżej na zielono niestety nie jest jeszcze kompletne. Aby to zrozumieć, spójrzmy na okrąg jednostkowy (o promieniu 1):

Współrzędne dowolnego punktu na okręgu jednostkowym mają postać $\color{#ff6600} (\cos(x), \sin(x))$, gdzie $\color{#ff6600} x$ oznacza kąt pomiędzy promieniem do tego punktu a osią $X$.
Zauważ, że na okręgu istnieje jeszcze jeden punkt, którego druga współrzędna jest taka sama (czyli $\color{Cyan} \sin(x)$ ma tę samą wartość). Chodzi oczywiście o punkt:

Jest to oczywiście nic innego jak odbicie tego punktu względem osi $Y$. Narysowałem przerywaną linię, aby pokazać, że te dwa punkty są na tej samej wysokości (druga współrzędna jest taka sama).
Naszym zadaniem jest wyznaczyć kąt $\color{#ffcc00} x_2$.
Wiemy, że kąt $\color{Red} x_1=-\frac{\pi}{4}$, więc: \begin{gather*}\color{#ffcc00} x_2 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \end{gather*} Wystarczy teraz uwzględnić tylko okresowość funkcji $\color{Cyan} \sin(x)$: \begin{gather*}\color{#00dd66} x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z} \end{gather*}

---

Podsumowanie To wszystko może się wydawać dosyć skomplikowane, więc przedstawmy to w kilku prostych krokach:
Dane mamy równanie: $$ \color{Cyan} \sin(x) = c $$ 1. Jeśli $\color{Cyan} c$ jest liczbą ujemną, chwilowo ignorujemy minusa, korzystamy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, aby wyznaczyć kąt $\color{Cyan} x_1$, a na końcu zmieniamy znak. Jeśli $\color{Cyan} c$ jest dodatnie, to po prostu wyznaczamy $\color{Cyan} x_1$, korzystając z tabeli.
2. Wyznaczamy $\color{Cyan} x_2$ wykonując działanie: $\color{Cyan} x_2=\pi-x_1$
3. Uwzględniamy okresowość funkcji i zapisujemy końcowy wynik: \begin{align*}\color{Cyan} \Large\substack{x &= x_1 + 2\pi k \\\\\\\\ x &= x_2 + 2\pi k} \normalsize \qquad k \in \mathbb{Z} \end{align*}