Wyznacz zbiór wartości funkcji

%⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⣠⡶⠛⠛⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ %⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⢀⣴⠋⠀⠀⠀⠈⣧⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ %⠀⠀⠀⠀⠀⢀⣠⠴⠞⠛⠉⠉⠉⠉⠉⠉⠛⠒⠾⢤⣀⠀⣀⣠⣤⣄⡀⠀⠀⠀ %⠀⠀⠀⣠⡶⠋⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠉⠛⢭⡀⠀⠈⣷⠀⠀⠀ %⠀⠀⡴⠋⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⢀⡟⠀⠀⠀ %⠀⣾⠁⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⢻⡅⠀⠀⠀ %⢸⠇⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⢻⣄⣀⠀ %⣾⠀⠀⣠⣤⣤⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⢀⣤⣤⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠸⡇⠉⣷ %⣿⠀⠰⣿⣿⣿⡗⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⢸⣿⣿⣿⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⣧⡴⠋ %⣿⠀⠀⢸⠛⢫⠀⠀⢠⠴⠒⠲⡄⠀⠀⠀⠀⡝⠛⢡⠀⠀⠀⠀⠀⠀⢰⡏⠀⠀ %⢸⡄⠀⢸⡀⢸⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⡇⠀⢸⠀⠀⠀⠀⠀⠀⡼⣄⠀⠀ %⠀⢳⡄⠀⡇⢸⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⢹⠀⢸⠀⠀⠀⠀⢀⡼⠁⢸⡇⠀ %⠀⠀⠙⢦⣷⡈⡇⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⢸⠀⠈⡇⠀⣀⡴⠟⠒⠚⠋⠀⠀ %⠀⠀⠀⠀⠈⠛⠾⢤⣤⣀⣀⡀⠀⠀⠀⠀⣀⣈⣇⡤⣷⠚⠉⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ %⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⣰⠇⠀⠩⣉⠉⠉⠉⣩⠍⠁⠀⢷⣟⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ %⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⡟⠐⠦⠤⠼⠂⠀⠸⠥⠤⠔⠂⠘⣿⣇⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ %⠀⠀⠀⠀⠀⠀⣸⣧⡟⠳⠒⡄⠀⠀⠀⡔⠲⠚⣧⣀⣿⠿⠷⣶⡆⠀⠀⠀⠀⠀ %⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠻⣄⢀⠀⠀⡗⠀⠀⠀⡇⠄⢠⠀⣼⠟⠀⢀⣨⠇⠀⠀⠀⠀⠀ %⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢶⠬⠴⢧⣤⣤⣤⣽⣬⡥⠞⠛⠛⠋⠉⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji musimy znaleźć wszystkie wartości jakie $\color{Cyan} y $ przyjmuje dla tej funkcji. Czyli musimy wyznaczyć ekstrema funkcji.

Widzimy, że funkcja f(x) nie posiada punktów nieciągłości (ponieważ niezależnie od argumentu x, w mianowniku nigdy nie będzie zera).
Nadal jednak wartości funkcji dla bardzo dużych lub bardzo małych argumentów, mogą przekraczać wartości ekstremów lokalnych. Wówczas, nasz zbiór wartości będzie większy. Aby sprawdzić czy rzeczywiście tak jest, obliczymy granicę funkcji f(x) przy x dążącym do plus i minus nieskończoności.

Na początku jednak wyznaczymy minimum i maksimum, aby to zrobić musimy wyznaczyć pochodną:



Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji, należy znaleźć najbardziej wychylone na osi $Y$ miejsca tej funkcji. Oczywiście „najbardziej wychylone miejsca” to nic innego jak ekstrema lokalne (maksimum i minimum). Aby je znaleźć, liczymy pochodną: \begin{gather*}\color{Cyan} f'(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} \\\\ \color{Cyan} f'(x) = \frac{-2x^2 +2}{(x^2+1)^2} \end{gather*} Ekstremum to miejsce, gdzie funkcja jest stała - ani nie rośnie, ani nie maleje. Jak wiemy, kiedy funkcja jest stała, jej pochodna jest równa $0$. Co należy więc zrobić? Przyrównujemy pochodną do zera i rozwiązujemy równanie: \begin{gather*}\color{Cyan} -2x^2 +2 = 0 \\\\\color{Cyan} -2x^2 = -2 \\\\\color{Cyan} x^2 = 1 \\\\\color{Cyan} {\color{#ff6600}x = {1}} \;\;\; \lor \;\;\; {\color{#ff6600} x = -1} \end{gather*} A tak wygląda pochodna $\color{Cyan}f'(x)$ z zaznaczonymi miejscami zerowymi, które właśnie wyznaczyliśmy:

Teraz wiemy że ekstrema znajdują się w punktach $ \color{#ff6600} 1 $ oraz $ \color{#ff6600} -1 $ na osi $X$. Musimy wiedzieć jak bardzo funkcja jest „wychylona” w tych punktach, więc obliczymy wartości funkcji $\color{Cyan}f(x)$ dla tych argumentów: \begin{gather*}\color{Cyan} f({\color{#ff6600}1}) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 +1} = \frac{2}{2} = {\color{#00dd66}1} \\\\\color{Cyan} f({\color{#ff6600}-1}) = \frac{2 \cdot (-1)}{(-1)^2 +1} = \frac{-2}{2} = {\color{#00dd66}-1} \end{gather*} Moglibyśmy teraz pomyśleć, że skoro ekstrema funkcji $\color{Cyan}f(x)$ to $\color{Cyan}(-1, -1)$ oraz $\color{Cyan}(1, 1)$, to zbiór wartości jest przedziałem $\color{Cyan} \left< -1,1 \right>$. Niestety ta sprawa nie jest taka oczywista.

Widzimy, że funkcja $\color{Cyan}f(x)$ nie posiada punktów nieciągłości (ponieważ niezależnie od argumentu $x$, w mianowniku nigdy nie będzie zera). To eliminuje możliwość wystąpienia jakiejś asymptoty pionowej, przy której wartości funkcji dążyłyby do minus lub plus nieskończoności.
Nadal jednak wartości funkcji dla bardzo dużych lub bardzo małych argumentów, mogą przekraczać wartości ekstremów lokalnych. Jak to możliwe? Spójrz na poniższą, przykładową funkcję:

Jak widzisz, ekstrema to punkty $\color{Cyan}(-2, 4)$ oraz $\color{Cyan}(0, 0)$ a mimo to, funkcja rośnie w nieskończoność jak idziemy w prawo na osi $x$ i maleje do minus nieskończoności jak idziemy w lewo.

Aby sprawdzić czy podobna sytuacja ma miejsce w przypadku naszej funkcji $\color{Cyan}f(x)$, obliczymy jej granicę funkcji przy $x$ dążącym do plus i minus nieskończoności: \begin{gather*}\color{Cyan} \lim_{{x} \to {\infty }} \frac{2x}{x^2 + 1} = \lim_{{x} \to {\infty }} \frac{2}{x + \frac{1}{x}} = \lim_{{x} \to {\infty }} \frac{2}{x} = \frac{2}{\infty} ={\color{#00dd66} 0} \\\\\color{Cyan} \lim_{{x} \to {-\infty }} \frac{2x}{x^2 + 1} = \lim_{{x} \to {-\infty }} \frac{2}{x + \frac{1}{x}} = \lim_{{x} \to {-\infty }} \frac{2}{x} = \frac{2}{-\infty} ={\color{#00dd66} 0} \end{gather*} Jak widać, obie granice są równe $0$, więc nie wykraczają poza przedział $\color{Cyan} \left< -1,1 \right>$ (zdeterminowany przez ekstrema lokalne).
Mogliśmy także uniknąć liczenia granic, zauważając fakt, że mianownik funkcji $\color{Cyan}f(x)$ rośnie kwadratowo a licznik zaledwie liniowo - to implikuje fakt, który udowodniliśmy licząc granice.

Możemy w końcu napisać odpowiedź: \begin{gather*}\color{#00dd66} f(x)\in \left< -1,1 \right> \end{gather*} A tak wygląda funkcja $\color{Cyan}f(x)$ z zaznaczonymi ekstremami lokalnymi: