Rozwiąż równanie trygonometryczne

Przypomnijmy sobie jak wygląda funkcja $\color{Cyan} \cos(x)$:

Największym problemem w naszym równaniu jest minus - gdyby nie on, moglibyśmy skorzystać z tabelki wartości funkcji trygonometrycznych. Teraz niestety nie możemy jej użyć, bo pokazuje ona jedynie dodatnie wartości funkcji trygonometrycznych. Chociaż... czy aby na pewno?

Podejdziemy do tego problemu w pewien sprytny sposób. Przyjrzyj się jeszcze raz powyższej wizualizacji i zaznacz checkboxa "punkty". Zielona prosta jest na wysokości $ \color{Cyan}-\frac{\sqrt{2}}{2}$ i przecina funkcję $\color{Cyan} \cos(x)$ w punktach oznaczonych na zielono - to właśnie one są rozwiązaniem naszego równania. Czerwona zaś jest na wysokości $\color{Cyan}\frac{\sqrt{2}}{2}$a punkty, w których przecina cosinusoidę... no właśnie. Czy ich ułożenie nie wygląda podobnie do tych zielonych? Okazuje się, że wystarczy czerwone punkty przesunąć o $\color{Cyan} \pi$ w prawo, aby znalazły się na tych samych współrzędnych $x$-owych, co zielone!

Rozwiążemy zatem równanie $\color{Cyan} \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, a następnie do tego, co nam wyjdzie dodamy $\color{Cyan} \pi$.


Korzystając z tabelki wartości funkcji trygonometrycznych mamy: \begin{gather*}\color{Cyan} \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\color{#ff6600} x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z} \end{gather*} Zauważ, że napisałem $\color{Cyan} + 2\pi k$. To dlatego, że funkcja $\color{Cyan} \cos(x)$ jest okresowa a jej okres jest równy $\color{Cyan} 2\pi$. Oznacza to dokładnie tyle, że po dodaniu $\color{Cyan} 2\pi$, nasza funkcja osiąga tę samą wartość.

Powyższe rozwiązanie niestety nie jest jeszcze kompletne. Aby to zrozumieć, spójrzmy na okrąg jednostkowy (o promieniu 1):

Współrzędne dowolnego punktu na okręgu jednostkowym mają postać $\color{#ff6600} (\cos(x), \sin(x))$, gdzie $\color{#ff6600} x$ oznacza kąt pomiędzy promieniem do tego punktu a osią $X$.
Zauważ, że na okręgu istnieje jeszcze jeden punkt, którego pierwsza współrzędna jest taka sama (czyli $\color{Cyan} \cos(x)$ ma tę samą wartość). Chodzi oczywiście o punkt:

Jest to oczywiście nic innego jak odbicie tego punktu względem osi $X$. Narysowałem przerywaną linię, aby pokazać, że te dwa punkty leżą dokładnie jeden nad drugim (pierwsza współrzędna jest taka sama).
Naszym zadaniem jest wyznaczyć kąt $\color{#ffcc00} x_2$.

Wiemy, że kąt $\displaystyle \color{Red} x_1=\frac{\pi}{4}$, więc: $\displaystyle \color{#ffcc00} x_2=-\frac{\pi}{4}$.
Wystarczy teraz uwzględnić tylko okresowość funkcji $\color{Cyan} \cos(x)$: \begin{gather*}\color{#ffcc00} x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z} \end{gather*} Pozostało nam jedynie dodać $\color{Cyan} \pi$ do obu wyników, aby rozwiązanie dotyczyło równania podanego w poleceniu: \begin{align*}\color{#ff6600} x &\color{#ff6600}= \frac{\pi}{4} + {\color{Cyan}\pi} + 2\pi k = \color{#00dd66} \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \\\\\color{#ffcc00} x &\color{#ffcc00}= -\frac{\pi}{4} + {\color{Cyan}\pi} + 2\pi k = \color{#00dd66} \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{align*}

---

Podsumowanie To wszystko może się wydawać dosyć skomplikowane, więc przedstawmy to w kilku prostych krokach:
Dane mamy równanie: $$ \color{Cyan} \cos(x) = c $$ 1. Jeśli $\color{Cyan} c$ jest liczbą ujemną, ignorujemy minusa i korzystamy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, aby wyznaczyć kąt $\color{Cyan} x_1$. Jeśli $\color{Cyan} c$ jest dodatnie, to po prostu wyznaczamy $\color{Cyan} x_1$, korzystając z tabeli.
2. Wyznaczamy $\color{Cyan} x_2$ korzystając z równania: $\color{Cyan} x_2=-x_1$
3. Uwzględniamy okresowość funkcji dodając $\color{Cyan} 2\pi k$
4. Jeśli $\color{Cyan} c$ było ujemne, dodajemy $\color{Cyan} \pi$ do $\color{Cyan} x_1$ i $\color{Cyan} x_2$
5. Zapisujemy końcowy wynik: \begin{align*}\color{Cyan} \Large\substack{x &= x_1 + 2\pi k \\\\\\\\ x &= x_2 + 2\pi k} \normalsize \qquad k \in \mathbb{Z} \end{align*}

---

Inny sposób Funkcja $\color{Cyan} \cos(x)$ to nic innego jak funkcja $\color{Cyan} \sin(x)$ przesunięta o $\displaystyle \color{Cyan} \frac{\pi}{2}$. Prawdziwa jest tożsamość: $$\color{Cyan} \cos(x) = \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) $$ Dzięki temu możemy rozwiązać równanie: $$\color{Cyan} \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ oraz od wyniku, który wyjdzie odjąć $\displaystyle \color{Cyan} \frac{\pi}{2}$.

Spójrz na odpowiedzi w bardzo podobnym zadaniu, ale z funkcją sinus i sprawdź, czy po odjęciu $\color{Cyan} \frac{\pi}{2}$ rozwiązanie faktycznie pokrywa się z tym, które właśnie podaliśmy.
Uwaga: wynik, który otrzymasz, będzie zapisany w innej formie – przesunięty o pewną wielokrotność $\displaystyle \color{Cyan} 2\pi$. Nadal jednak pozostaje poprawny. Pamiętaj, że funkcje $\color{Cyan} \cos(x)$ i $\color{Cyan} \sin(x)$ są okresowe – dodanie dowolnej wielokrotności $\color{Cyan} 2\pi$ do argumentu nie zmienia wyniku.