Rozwiąż równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych polega na dokonaniu operacji, w wyniku których po jednej stronie równania znajdzie się wyrażenie jedynie ze zmienną $\color{Cyan} y$ oraz $\color{Cyan} \mathrm{d} y$ a po drugiej wyrażenie jedynie ze zmienną $\color{Cyan} x$ oraz $\color{Cyan} \mathrm{d} x$. \begin{gather*}\color{Cyan} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{x}{y} \quad \color{#999999} /\cdot \mathrm{d} x \\\\\color{Cyan} y\,\mathrm{d} y = x\,\mathrm{d} x \\\\\textrm{całkujemy obustronnie:} \\\\\color{Cyan} \int y\,\mathrm{d}y = \int x\,\mathrm{d}x \\\\\color{Cyan} \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x^2 + C \\\\\color{Cyan} y^2 = x^2 + C \\\\\color{#00dd66} y = \pm \sqrt{x^2 + C} \end{gather*}

---

Pole kierunków Zauważ, że w naszym rozwiązaniu występuje stała $\color{Cyan}C$. Jest ona małym utrudnieniem przy próbie graficznej wizualizacji rozwiązania. Na szczęście nadal istnieje spoósb, aby przedstawić wizualnie całą grupę rozwiązań jednocześnie (dla różnych wartości $\color{Cyan}C$).
Można to zrobić za pomocą tzw. pola kierunków:

Jest to nic innego jak pole, które obrazuje nachylenie funkcji $\color{Cyan}y$.
Innymi słowy, weź dowolny punkt $\color{Cyan}(x, y)$ i podstaw te wartości do naszego równania różniczkowego. Wyjdzie ci $\color{Cyan}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \textrm{współczynnik nachylenia} $. Następnie w wybranym punkcie (czyli $\color{Cyan}(x, y)$) na układzie współrzędnych narysuj małą kreseczkę odpowiadającą temu współczynnikowi nachylenia. Następnie powtórz ten proces jakieś... tysiąc razy dla różnych punktów.

Innym sposobem jest narysowanie wielu funkcji $\color{Cyan}y$ dla różnych wartości $\color{Cyan}C$. Tak to będzie wyglądało na naszym przykładzie: