Rozwiąż równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych polega na dokonaniu operacji, w wyniku których po jednej stronie równania znajdzie się wyrażenie jedynie ze zmienną $\color{Cyan} y$ oraz $\color{Cyan} \mathrm{d} y$ a po drugiej wyrażenie jedynie ze zmienną $\color{Cyan} x$ oraz $\color{Cyan} \mathrm{d} x$. \begin{gather*}\color{Cyan} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = e^{x+y} \\\\\color{Cyan} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = e^x \cdot e^y \quad \color{#999999} /:e^y \\\\\color{Cyan} \frac{1}{e^y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = e^x \quad \color{#999999} /\cdot \mathrm{d} x \\\\\color{Cyan} \frac{\mathrm{d} y}{e^y} = e^x \, \mathrm{d} x \\\\\textrm{całkujemy obustronnie:} \\\\\color{Cyan} \int \frac{\mathrm{d} y}{e^y} = \int e^x \, \mathrm{d} x \\\\\color{Cyan} \int e^{-y} \,\mathrm{d}y = \int e^x \, \mathrm{d} x \\\\\color{Cyan} -e^{-y} = e^x + C \\\\\color{Cyan} e^{-y} = -e^x + C \\\\\textrm{bierzemy logarytm naturalny obustronnie:} \\\\\color{Cyan} \ln\left(e^{-y}\right) = \ln\left(C - e^x\right) \\\\\color{Cyan} -y = \ln\left(C - e^x\right) \\\\\color{#00dd66} y = -\ln\left(C-e^x\right) \end{gather*}

---

Pole kierunków Zauważ, że w naszym rozwiązaniu występuje stała $\color{Cyan}C$. Jest ona małym utrudnieniem przy próbie graficznej wizualizacji rozwiązania. Na szczęście nadal istnieje spoósb, aby przedstawić wizualnie całą grupę rozwiązań jednocześnie (dla różnych wartości $\color{Cyan}C$).
Można to zrobić za pomocą tzw. pola kierunków:

Jest to nic innego jak pole, które obrazuje nachylenie funkcji $\color{Cyan}y$.
Innymi słowy, weź dowolny punkt $\color{Cyan}(x, y)$ i podstaw te wartości do naszego równania różniczkowego. Wyjdzie ci $\color{Cyan}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \textrm{współczynnik nachylenia} $. Następnie w wybranym punkcie (czyli $\color{Cyan}(x, y)$) na układzie współrzędnych narysuj małą kreseczkę odpowiadającą temu współczynnikowi nachylenia. Następnie powtórz ten proces jakieś... tysiąc razy dla różnych punktów.

Innym sposobem jest narysowanie wielu funkcji $\color{Cyan}y$ dla różnych wartości $\color{Cyan}C$. Tak to będzie wyglądało na naszym przykładzie: