Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-09-30 13:45:00
Wyznacz macierz $2 \times 2$ przekształcenia liniowego, które realizuje rzut ortogonalny na prostą $\color{Cyan}L:\,\, y=2x$
Zanim przejdziemy do obliczeń, przyjrzyj się poniższej wizualizacji. Wprowadź dowolną macierz $2 \times 2$ w odpowiednie pola, a następnie przesuń suwak w prawo, aby zobaczyć efekt przekształcenia.
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Aby rozwiązać to zadanie, zastanówmy się jak działa mnożenie wektorów przez macierz w przekształceniu liniowym:
\begin{gather*}
\color{Cyan} F(\overrightarrow{x})=
\begin{bmatrix}
{a} & {b} \\
{c} & {d}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{x_1} \\
{x_2}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
{a \cdot x_1 \; + \; b \cdot x_2} \\
{c \cdot x_1 \; + \; d \cdot x_2}
\end{bmatrix}
\end{gather*}
(Używam tutaj zapisu wektorów w formie kolumnowej, gdyż w wielu przypadkach jest to wygodniejsze)
Ponieważ może nie być to od razu oczywiste, zapiszmy szczególny przypadek: \begin{gather*} \color{Cyan} \begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {1} \\ {0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a \cdot 1\; + \; b \cdot 0} \\ {c \cdot 1\; + \; d \cdot 0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a} \\ {c} \end{bmatrix}\\\\ \textrm{Oraz:}\\\\ \color{Cyan} \begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {0} \\ {1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a \cdot 0\; + \; b \cdot 1} \\ {c \cdot 0\; + \; d \cdot 1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {b} \\ {d} \end{bmatrix}\\ \end{gather*} Zauważ, że wektory bazy standardowej odwzorowywane są na kolumny macierzy przekształcenia. Innymi słowy, aby ułożyć odpowiednią macierz wystarczy wiedzieć na jakie wektory powinny przechodzić wektory z bazy standardowej!
Rozwiązywanie naszego zadania zaczniemy od zapisania prostej w innej postaci - parametrycznej: \begin{gather*}\color{Cyan} L = \left\{ c\begin{bmatrix} {1} \\ {2} \end{bmatrix}, \,\,\, c \in \mathbb{R} \right\} \end{gather*} Krótko mówiąc, dowolny punkt na prostej można otrzymać mnożąc wektor $\color{Cyan}\begin{bmatrix} {1} \\ {2} \end{bmatrix}$ przez jakąś liczbę $\color{Cyan}c$. Dlaczego akurat taki wektor? Ponieważ leży na interesującej nas prostej (punkt $(1, 2)$ leży na prostej i wektor prowadzący do tego punktu nie jest zerowy) - to wystarczy.
Proponuję jednak rozważyć przypadek ogólny, wyprowadzić uniwersalny wzór i na końcu jedynie wykorzystać go do rozwiązania zadania. Zdefiniujmy dowolną prostą przechodzącą przez punkt $(0, 0)$: \begin{gather*}\color{#ff6600} L = \left\{ c\overrightarrow{v}, \,\,\, c \in \mathbb{R} \right\} \end{gather*} A także dowolny wektor $\color{#ff6600} \overrightarrow{x}$ oraz $\color{#ff6600} P_L(\overrightarrow{x})$, będący rzutem ortogonalnym wektora $\color{#ff6600} \overrightarrow{x}$ na prostą $\color{#ff6600} L$.
Zróbmy poglądowy rysunek:
Ponieważ może nie być to od razu oczywiste, zapiszmy szczególny przypadek: \begin{gather*} \color{Cyan} \begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {1} \\ {0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a \cdot 1\; + \; b \cdot 0} \\ {c \cdot 1\; + \; d \cdot 0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a} \\ {c} \end{bmatrix}\\\\ \textrm{Oraz:}\\\\ \color{Cyan} \begin{bmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {0} \\ {1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a \cdot 0\; + \; b \cdot 1} \\ {c \cdot 0\; + \; d \cdot 1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {b} \\ {d} \end{bmatrix}\\ \end{gather*} Zauważ, że wektory bazy standardowej odwzorowywane są na kolumny macierzy przekształcenia. Innymi słowy, aby ułożyć odpowiednią macierz wystarczy wiedzieć na jakie wektory powinny przechodzić wektory z bazy standardowej!
Rozwiązywanie naszego zadania zaczniemy od zapisania prostej w innej postaci - parametrycznej: \begin{gather*}\color{Cyan} L = \left\{ c\begin{bmatrix} {1} \\ {2} \end{bmatrix}, \,\,\, c \in \mathbb{R} \right\} \end{gather*} Krótko mówiąc, dowolny punkt na prostej można otrzymać mnożąc wektor $\color{Cyan}\begin{bmatrix} {1} \\ {2} \end{bmatrix}$ przez jakąś liczbę $\color{Cyan}c$. Dlaczego akurat taki wektor? Ponieważ leży na interesującej nas prostej (punkt $(1, 2)$ leży na prostej i wektor prowadzący do tego punktu nie jest zerowy) - to wystarczy.
Proponuję jednak rozważyć przypadek ogólny, wyprowadzić uniwersalny wzór i na końcu jedynie wykorzystać go do rozwiązania zadania. Zdefiniujmy dowolną prostą przechodzącą przez punkt $(0, 0)$: \begin{gather*}\color{#ff6600} L = \left\{ c\overrightarrow{v}, \,\,\, c \in \mathbb{R} \right\} \end{gather*} A także dowolny wektor $\color{#ff6600} \overrightarrow{x}$ oraz $\color{#ff6600} P_L(\overrightarrow{x})$, będący rzutem ortogonalnym wektora $\color{#ff6600} \overrightarrow{x}$ na prostą $\color{#ff6600} L$.
Zróbmy poglądowy rysunek:
Przytrzymaj Shift, aby przesuwać, oddalać i przybliżać widok
Widzimy, że wektor $\color{#5500cc} \overrightarrow{x}-P_L(\overrightarrow{x})$ jest prostopadły do wektora $\color{#00cc44} \overrightarrow{v}$. Ponad to, wektor $\color{#ff8800} P_L(\overrightarrow{x})$ jest pewną wielokrotnością wektora $\color{#00cc44} \overrightarrow{v}$. A więc:
\begin{gather*}\color{#ff6600}
\left( {\color{#5500cc} \overrightarrow{x}-P_L(\overrightarrow{x})} \right){\color{#00cc44} \overrightarrow{v}} = 0\\\\\color{#ff6600}
{\color{#ff8800} P_L(\overrightarrow{x})} = c\color{#00cc44} \overrightarrow{v}\\\\
\textrm{układamy równanie:} \\\\\color{#ff6600}
\left( \overrightarrow{x}-c\overrightarrow{v} \right) \overrightarrow{v} = 0 \\\\\color{#ff6600}
\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{v} = c(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}) \\\\\color{#ff6600}
c = \frac{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{v}}{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}} =
\frac{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{v} \right\|^2} \\\\\color{#ff6600}
P_L(\overrightarrow{x}) = \frac{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{v} \right\|^2} \cdot \overrightarrow{v} =
\frac{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{v} \right\|} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{v} \right\|}\\\\
\textrm{definiujemy wektor jednostkowy } {\color{#66cc00}\widehat{u}}:\\\\
\color{#66cc00} \widehat{u} = \frac{\overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{v} \right\|} \\\\\color{#ff6600}
P_L(\overrightarrow{x}) = (\overrightarrow{x} \cdot {\color{#66cc00}\widehat{u}}){\color{#66cc00}\widehat{u}}\\\\
\textrm{sprawdzamy na co przechodzą wektory z bazy standardowej:}\\\\\color{#ff6600}
P_L\left(\begin{bmatrix}
{1} \\
{0}
\end{bmatrix}\right) = \left( \begin{bmatrix}
{1} \\
{0}
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
{u_1} \\
{u_2}
\end{bmatrix} \right)\begin{bmatrix}
{u_1} \\
{u_2}
\end{bmatrix} = u_1\begin{bmatrix}
{u_1} \\
{u_2}
\end{bmatrix} = \color{#00ccff}\begin{bmatrix}
{u_1^2} \\
{u_1u_2}
\end{bmatrix}\\\\\color{#ff6600}
P_L\left(\begin{bmatrix}
{0} \\
{1}
\end{bmatrix}\right) = \left( \begin{bmatrix}
{0} \\
{1}
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
{u_1} \\
{u_2}
\end{bmatrix} \right)\begin{bmatrix}
{u_1} \\
{u_2}
\end{bmatrix} = u_2\begin{bmatrix}
{u_1} \\
{u_2}
\end{bmatrix} = \color{#00ccff}\begin{bmatrix}
{u_1u_2} \\
{u_2^2}
\end{bmatrix}
\end{gather*}
Wiemy już, że te zaznaczone na niebiesko wektory są kolumnami naszej macierzy:
\begin{gather*}\color{#ff6600}
P_L(\overrightarrow{x}) = {\color{#00ccff}A}\overrightarrow{x} \\\\\color{#00ccff}
A = \begin{bmatrix}
{u_1^2} & {u_1u_2} \\
{u_1u_2} & {u_2^2}
\end{bmatrix}
\end{gather*}
Oto gotowy wzór na macierz rzutu ortogonalnego na prostą zadaną przez jednostkowy wektor $\color{#66cc00}\widehat{u}$.
Aby z niego skorzystać, musimy znormalizować wektor $\color{Cyan}\begin{bmatrix} {1} \\ {2} \end{bmatrix}$: \begin{gather*}\color{#ff6600} \left\| \begin{bmatrix} {1} \\ {2} \end{bmatrix} \right\| = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}\\\\\color{#66cc00} \widehat{u} = \begin{bmatrix} {\frac{1}{\sqrt{5}}} \\ {\frac{2}{\sqrt{5}}} \end{bmatrix} \end{gather*} Pozostało tylko podstawić do wzoru: \begin{gather*}\color{#00dd66} \large A = \begin{bmatrix} {\frac{1}{5}} & {\frac{2}{5}} \\ {\frac{2}{5}} & {\frac{4}{5}} \end{bmatrix} \end{gather*}
Aby z niego skorzystać, musimy znormalizować wektor $\color{Cyan}\begin{bmatrix} {1} \\ {2} \end{bmatrix}$: \begin{gather*}\color{#ff6600} \left\| \begin{bmatrix} {1} \\ {2} \end{bmatrix} \right\| = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}\\\\\color{#66cc00} \widehat{u} = \begin{bmatrix} {\frac{1}{\sqrt{5}}} \\ {\frac{2}{\sqrt{5}}} \end{bmatrix} \end{gather*} Pozostało tylko podstawić do wzoru: \begin{gather*}\color{#00dd66} \large A = \begin{bmatrix} {\frac{1}{5}} & {\frac{2}{5}} \\ {\frac{2}{5}} & {\frac{4}{5}} \end{bmatrix} \end{gather*}
$\displaystyle \color{#00dd66}
A = \begin{bmatrix}
{\frac{1}{5}} & {\frac{2}{5}} \\
{\frac{2}{5}} & {\frac{4}{5}}
\end{bmatrix} $