Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-10-12 15:16:00
Udowodnij prawdziwość poniższego zdania logicznego $ \newcommand{\Forall}[1]{ \substack{\Huge \forall \\\\ \normalsize #1} } \newcommand{\Exists}[1]{ \substack{\Huge \exists \\\\ \normalsize #1} } $
\begin{gather*}\color{Cyan}
\Exists{x} \Bigg( P(x) \, \land \, Q(x) \Bigg) \implies \Bigg( \Exists{x} \; P(x) \Bigg) \land \Bigg( \Exists{x} \; Q(x) \Bigg)
\end{gather*}
Zakładamy, że $\displaystyle \;\color{Cyan} \Exists{x} \left( P(x) \, \land \, Q(x) \right) $.
Wówczas istnieje takie $\color{#ff6600}c$, że $\displaystyle \color{Cyan} P({\color{#ff6600}c}) \, \land \, Q({\color{#ff6600}c})$. Zatem:
1. Skoro istnieje takie $\color{#ff6600}c$, że $\color{Cyan} P({\color{#ff6600}c})$, to $\displaystyle \color{Cyan} \Exists{x}\;P(x) $.
2. Skoro istnieje takie $\color{#ff6600}c$, że $\color{Cyan} Q({\color{#ff6600}c})$, to $\displaystyle \color{Cyan} \Exists{x}\;Q(x) $.
Wobec tego $\displaystyle \;\color{Cyan} \left( \Exists{x} \; P(x) \right) \land \left( \Exists{x} \; Q(x) \right) $
$\blacksquare$Intuicja
Możemy to zdanie rozumieć w taki sposób:
„Jeśli wśród uczniów jest osoba, która nosi okulary i posiada niebieski plecak, to z tego wynika, że istnieje wśród uczniów osoba, która nosi okulary i istnieje wśród uczniów osoba, która ma niebieski plecak.”
Należy jednak zauważyć, że implikacja ta nie zachodzi w drugą stronę. Jest tak dlatego, że z drugiej części powyższego zdania mogą wynikać dwa przypadki:
1. Osoba w okularach i z niebieskim plecakiem to ta sama osoba.
2. Osoba w okularach i z niebieskim plecakiem to dwie różne osoby.
Wówczas istnieje takie $\color{#ff6600}c$, że $\displaystyle \color{Cyan} P({\color{#ff6600}c}) \, \land \, Q({\color{#ff6600}c})$. Zatem:
1. Skoro istnieje takie $\color{#ff6600}c$, że $\color{Cyan} P({\color{#ff6600}c})$, to $\displaystyle \color{Cyan} \Exists{x}\;P(x) $.
2. Skoro istnieje takie $\color{#ff6600}c$, że $\color{Cyan} Q({\color{#ff6600}c})$, to $\displaystyle \color{Cyan} \Exists{x}\;Q(x) $.
Wobec tego $\displaystyle \;\color{Cyan} \left( \Exists{x} \; P(x) \right) \land \left( \Exists{x} \; Q(x) \right) $
$\blacksquare$
„Jeśli wśród uczniów jest osoba, która nosi okulary i posiada niebieski plecak, to z tego wynika, że istnieje wśród uczniów osoba, która nosi okulary i istnieje wśród uczniów osoba, która ma niebieski plecak.”
Należy jednak zauważyć, że implikacja ta nie zachodzi w drugą stronę. Jest tak dlatego, że z drugiej części powyższego zdania mogą wynikać dwa przypadki:
1. Osoba w okularach i z niebieskim plecakiem to ta sama osoba.
2. Osoba w okularach i z niebieskim plecakiem to dwie różne osoby.