Zapisz do kolekcji
Zaloguj się, aby dodać zadanie do kolekcji.
Zgłoś zadanie
Dziękuję za przesłanie zgłoszenia!
Twoje zaangażowanie pomaga mi rozwijać tę stronę i tworzyć miejsce z jeszcze lepszymi materiałami.
Data publikacji: 2025-10-12 15:29:00
Udowodnij prawdziwość poniższego zdania logicznego $ \newcommand{\Forall}[1]{ \substack{\Huge \forall \\\\ \normalsize #1} } \newcommand{\Exists}[1]{ \substack{\Huge \exists \\\\ \normalsize #1} } $
$$\color{Cyan}
\Bigg( \Exists{x}\; P(x) \implies \Forall{x}\;Q(x) \Bigg) \implies \Forall{x}\Bigg( P(x) \implies Q(x) \Bigg)
$$
Zanim przejdziemy do dowodzenia, przypomnijmy sobie prawa związane z rozdzielnością kwantyfikatorów względem koniunkcji i alternatywy:
\begin{gather*}\color{Cyan}
\textrm{koniunkcja } (\land)\\\\\color{#000eee}
\Exists{x} \Big( P(x) \land Q(x) \Big) \;{\color{#ff6600}\implies} \;\; \Exists{x}\,P(x) \;\land\;\; \Exists{x}\,Q(x)\\\\\color{#000eee}
\Forall{x} \Big( P(x) \land Q(x) \Big) \;{\color{#ff6600}\iff}\;\; \Forall{x}\,P(x) \;\land\;\; \Forall{x}\,Q(x)\\\\\color{Cyan}
\textrm{alternatywa } (\lor)\\\\\color{#c00eee}
\Forall{x} \Big( P(x) \lor Q(x) \Big) \;{\color{#ff6600}\impliedby}\;\; \Forall{x}\,P(x) \;\lor \;\; \Forall{x}\,Q(x)\\\\\color{#000eee}
\Exists{x} \Big( P(x) \lor Q(x) \Big) \;{\color{#ff6600}\iff} \;\; \Exists{x}\,P(x) \;\lor \;\; \Exists{x}\,Q(x)\\\\
\end{gather*}
(prawo zaznaczone innym kolorem będzie tym, którego użyjemy)
a także opuszczenie implikacji: \begin{gather*}\color{Cyan} (p \implies q) \iff (\neg p \lor q) \end{gather*} Teraz, korzystając z tych tautologii udowodnimy, że podane zdanie jest prawdziwe: \begin{gather*}\color{Cyan} \Bigg( \Exists{x}\; P(x) \implies \Forall{x}\;Q(x) \Bigg) \implies \Forall{x}\Bigg( P(x) \implies Q(x) \Bigg)\\\\ \small\textrm{opuszczenie implikacji} \LARGE \updownarrow \qquad \qquad\\\\\color{Cyan} \Bigg( \neg \Exists{x}\; P(x) \;\lor\;\; \Forall{x}\;Q(x) \Bigg) \implies \Forall{x}\Bigg( \neg P(x) \;\;\lor\;\; Q(x) \Bigg)\\\\ \small\neg \exists_{x}\, P(x) \iff \forall_{x}\,\neg P(x) \LARGE \updownarrow \qquad \qquad \;\;\\\\\color{Cyan} \Bigg( \Forall{x}\, \neg P(x) \;\lor\;\; \Forall{x}\;Q(x) \Bigg) \implies \Forall{x}\Bigg( \neg P(x) \;\;\lor\;\; Q(x) \Bigg)\\\\ \small\small\textrm{prawo o rozdzielności} \LARGE \downarrow \qquad \quad \;\;\, \\\\\color{Cyan} \Forall{x}\Bigg( \neg P(x) \;\;\lor\;\; Q(x) \Bigg) \iff \Forall{x}\Bigg( \neg P(x) \;\;\lor\;\; Q(x) \Bigg) \\ \blacksquare \end{gather*}
a także opuszczenie implikacji: \begin{gather*}\color{Cyan} (p \implies q) \iff (\neg p \lor q) \end{gather*} Teraz, korzystając z tych tautologii udowodnimy, że podane zdanie jest prawdziwe: \begin{gather*}\color{Cyan} \Bigg( \Exists{x}\; P(x) \implies \Forall{x}\;Q(x) \Bigg) \implies \Forall{x}\Bigg( P(x) \implies Q(x) \Bigg)\\\\ \small\textrm{opuszczenie implikacji} \LARGE \updownarrow \qquad \qquad\\\\\color{Cyan} \Bigg( \neg \Exists{x}\; P(x) \;\lor\;\; \Forall{x}\;Q(x) \Bigg) \implies \Forall{x}\Bigg( \neg P(x) \;\;\lor\;\; Q(x) \Bigg)\\\\ \small\neg \exists_{x}\, P(x) \iff \forall_{x}\,\neg P(x) \LARGE \updownarrow \qquad \qquad \;\;\\\\\color{Cyan} \Bigg( \Forall{x}\, \neg P(x) \;\lor\;\; \Forall{x}\;Q(x) \Bigg) \implies \Forall{x}\Bigg( \neg P(x) \;\;\lor\;\; Q(x) \Bigg)\\\\ \small\small\textrm{prawo o rozdzielności} \LARGE \downarrow \qquad \quad \;\;\, \\\\\color{Cyan} \Forall{x}\Bigg( \neg P(x) \;\;\lor\;\; Q(x) \Bigg) \iff \Forall{x}\Bigg( \neg P(x) \;\;\lor\;\; Q(x) \Bigg) \\ \blacksquare \end{gather*}